Gelfand-Tripel

Das Gelfand-Tripel (auch Gelfandscher Dreier, Banach-Gelfand-Tripel oder ausgerüsteter Hilbert-Raum) bezeichnet in der Funktionalanalysis ein Raum-Tripel $(V,H,V^{*}),$ bestehend aus einem Hilbert-Raum $H$, einem topologischen Vektorraum $V$ (zum Beispiel ein Banach-Raum) und seinem Dualraum $V^{*}$. Der Raum $V$ wird so gewählt, dass $V$ ein dicht liegender Unterraum von $H$ ist und seine Inklusion stetig ist. Diese Konstruktion hat nun den Vorteil, dass sich Elemente aus $H$ mittels des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz als Elemente des Dualraumes $V^{*}$ identifizieren lassen.

Das Gelfand-Tripel ist nach Israel Gelfand benannt.

Definition

Sei $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})$ ein separabler Hilbert-Raum und $V\subset H$ ein darin dicht liegender topologischer Vektorraum und die Inklusion $i_{1}:V\hookrightarrow H$ sei stetig. $H^{*}$ und $V^{*}$ bezeichnen die dazugehörigen Dualräume.

Dann gilt die dichte Inklusion

$V\subset H\subset V^{*},$

in dem wir $H$ mit $H^{*}$ über die Fréchet-Riesz-Darstellung identifizieren. Daraus folgt, dass die Abbildung $i_{2}:H^{*}\to V^{*}$ stetig ist. Das Tripel $(V,H,V^{*})$ nennt man Gelfand-Tripel.

Herleitung im Fall wenn V ein reflexiver Banach-Raum ist

Sei $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})$ ein separabler Hilbert-Raum, $V\subset H$ ein darin dicht liegender reflexiver Banach-Raum und die Inklusion $i_{1}:V\hookrightarrow H$ sei stetig. Die Separabilität von $H$ garantiert uns die Existenz eines in $H$ dicht liegenden Unterraumes.

Es folgt aus diesen Eigenschaften, dass folgende dichte Inklusion gilt

$V\subset H\subset V^{*},$

in dem wir $H$ mit $H^{*}$ identifizieren.

Es gilt nun für alle $h\in H,v\in V$

$\langle h,v\rangle _{H}={}_{V^{*}}\langle h,v\rangle _{V}$

wobei die rechte Seite die duale Paarung bezeichnet. Das Tripel $(V,H,V^{*})$ ist ein Gelfand-Tripel.

Herleitung der Inklusion

Es lässt sich zeigen, dass auch $H^{*}\subset V^{*}$ dicht liegt und die Inklusion $i_{2}:H^{*}\hookrightarrow V^{*}$ stetig ist (folgt direkt aus der Reflexivität von $V$). Für ein $\varphi \in H^{*}$ und $x\in H$ definieren wir die duale Paarung

${}_{H^{*}}\langle \varphi ,x\rangle _{H}:=\varphi (x).$

Für jedes $\varphi \in H^{*}$ existiert eine eindeutige Riesz-Darstellung $h_{\varphi }\in H$, so dass

${}_{H^{*}}\langle \varphi ,x\rangle _{H}=\langle x,h_{\varphi }\rangle _{H}$

für alle $x\in H$ gilt. Deshalb können wir $H^{*}$ mit $H$ identifizieren $H\cong H^{*}$ und daraus folgt die Inklusion

$V\subset H\subset V^{*}$

und auch $i_{3}:H\hookrightarrow V^{*}$ ist stetig.

Beispiele und Anwendungen

• Sei $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ein Lp-Raum, ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ der Schwartz-Raum und ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ der Raum der temperierten Distributionen. Dann ist das Tripel $({\mathcal {S}},L^{2},{\mathcal {S}}')$ ein Gelfand-Tripel.
• Seien $\ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty }$ die Folgenräume der beschränkten Folgen. Dann ist das Tripel $(\ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty })$ ein Gelfand-Tripel.
• Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ offen, $L^{2}(\Omega )$ ein Lp-Raum. Mit $H_{0}^{1,p}(\Omega )$ für $p\in [2,\infty )$ wird der (beschränkte) Sobolew-Raum $H_{0}^{1,p}(\Omega )={\overline {C_{c}^{\infty }(\Omega )}}$ und mit $H^{-1,p}:=(H_{0}^{1,p}(\Omega ))^{*}$ sein Dualraum bezeichnet. Dann ist $(H_{0}^{1,p},L^{2},H^{-1,p})$ ein Gelfand-Tripel.
• In der White-Noise-Analysis: sei $S_{1}$ der Kondratiew-Raum der stochastischen Test-Funktionen, ${\mathcal {W}}$ der Raum des weißen Rauschen, $S_{-1}$ der Kondratiew-Raum der stochastischen Distributionen. Dann ist $(S_{1},{\mathcal {W}},S_{-1})$ ein Gelfand-Tripel.

Anwendungen

Sei $(H_{0}^{1,p},L^{2},H^{-1,p})$ das Gelfand-Tripel aus dem vorigen Beispiel. Der Laplace-Operator $\Delta \colon C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ist nicht stetig. Sei $A=\Delta$ die Fortsetzung des Operators auf dem Gelfand-Tripel mit $A\colon H_{0}^{1,p}\to H^{-1,p}$, dann ist $A$ stetig.

Negative Norm

Ein Gelfandscher Dreier $(V,H,V^{*})$ erlaubt die Konstruktion einer sogenannten negativen Norm. Die negative Norm eines Elementes $y\in H$ wird durch

$\|y\|_{-1}:=\sup _{x\in V}{\frac {|\langle x,y\rangle _{H}|}{\|x\|_{V}}}$

definiert und wir notieren den Dualraum ausgestattet mit dieser Norm als $V^{-1}$.

Es lässt sich folgende Ungleichung für $y\in V$ herleiten

$\|y\|_{-1}\leq K\|y\|_{H}\leq C\|y\|_{V}$

für feste Konstanten $K,C>0$.

Literatur

• Hans G. Feichtinger: Banach Gelfand Triples for Applications in Physics and Engineering. In: AIP Conference Proceedings. Band 1146, 2009, doi:10.1063/1.3183542. 
• Israel M. Gelfand, Naum Ya. Vilenkin: Generalized Functions: Some Applications of Harmonic Analysis. Rigged Hilbert Spaces. Hrsg.: Academic Press, New York. 1964. 
• Monika Dörfler, Hans G. Feichtinger, Karlheinz Gröchenig: Time-Frequency Partitions for Gelfand Triple (S0,L2,S0'). In: Mathematica Scandinavica. Band 98, Nr. 1, 2006, S. 81–96, JSTOR:24493549.