Die Graßmann-Zahlen (nach Hermann Graßmann, häufig auch in Englischer Sprache angepasster Schreibweise Grassmann) sind antikommutierende Zahlen, die im Rahmen des Pfadintegral-Formalismus für Fermionen in den Quantenfeldtheorien auftreten. Ein Pionier ihrer Verwendung in der Quantenfeldtheorie war Felix Berezin. Danach sind sie mathematisch der Teil ungerader Parität einer -gradierten Algebra aus kommutierenden (Parität ) und nicht-kommutierenden (Parität ) Elementen (Superalgebra). Für die Multiplikation gilt darin für je zwei Elemente :

.

Eigenschaften

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Seien   Graßmann-Zahlen und   komplexe Zahlen. Dann gilt

Definitorische Eigenschaften

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  • Graßmann-Zahlen sind antikommutativ bezüglich der Multiplikation:
     
  • Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Addition:
     
  • Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Multiplikation mit einer komplexen Zahl:
     
  • Graßmann-Zahlen sind assoziativ sowohl bezüglich Addition als auch der Multiplikation
     
     
  • Es gelten alle Ausprägungen des Distributivgesetzes:
     
     
     

Folgerungen

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  • Die Summe von zwei Graßmann-Zahlen ist eine Graßmann-Zahl:
     
  • Das Produkt einer Graßmann-Zahl mit einer komplexen Zahl ist eine Graßmann-Zahl:
     
  • Das Produkt von zwei Graßmann-Zahlen ist keine Graßmann-Zahl:
     
  • Insbesondere ist das Quadrat einer Graßmann-Zahl Null:
     
  • Eine Funktion kann maximal erster Ordnung in einer Graßmann-Variable sein:
     
    So ist beispielsweise mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion  .

Integration und Differentiation

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Es ist möglich, Integral- und Differentialrechnung in Bezug auf Graßmann-Zahlen analog zu der in Bezug auf Funktionen komplexer Zahlen zu definieren:

  • Differentiation von Graßmann-Zahlen geschieht von links. Sei  . Dann ist:
     
     
  • Die Integration soll wie gewöhnlich ein lineares Funktional aus dem Funktionenraum in die komplexen Zahlen darstellen, es soll also gelten:
    •  
    •  
  • Es folgen daraus die Integrationsregeln für Graßmann-Zahlen:
     
     

Anwendung

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Graßmann-Variablen werden für den Pfadintegral-Formalismus für Fermionen benötigt. Dazu definiert man das erzeugende Funktional

 

mit der Lagrangedichte für Fermionen  , den fermionischen Graßmann-wertigen Feldern   und den Graßmann-Zahlen  . Dann gilt beispielsweise für die 2-Punkt Korrelationsfunktion (den fermionischen Propagator):

 

Formale mathematische Definition

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Sei   ein  -dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis   und

 

die äußere Algebra (Graßmann-Algebra) über  , wobei   das äußere Produkt und   die direkte Summe bezeichnet.

Die Graßmann-Zahlen sind die Elemente dieser Algebra.

Das Symbol   wird in der Notation für Graßmann-Zahlen meist weggelassen.

Graßmann-Zahlen sind also von der Form

 

für streng wachsende  -Tupel   mit  , und komplexe antisymmetrische Tensoren   vom Rang  .

Der Spezialfall   entspricht den 1873 von William Clifford eingeführten dualen Zahlen.

Für unendlich-dimensionale Vektorräume   bricht die Reihe

 

nicht ab und die Graßmann-Zahlen sind von der Form

 

wobei dann   als Körper und   als Seele der Superzahl   bezeichnet wird.

Literatur

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  • Michael D. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books Publishing 1995, ISBN 0-201-50397-2.
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