In der Mathematik, in der homologischen Algebra, ist die Grothendieck-Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung des abgeleiteten Funktors der Komposition zweier Funktoren mithilfe der abgeleiteten Funktoren von und .

Sie wurde konstruiert und 1957 veröffentlicht von Alexander Grothendieck in seiner heute meist als Tôhoku bezeichneten Arbeit Sur quelques points d’algèbre homologique im Tôhoku Mathematical Journal.

Viele Spektralsequenzen in der algebraischen Geometrie sind Anwendungen der Grothendieck-Spektralsequenz, wie beispielsweise die Leray-Spektralsequenz oder die Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz.

Seien   und   zwei linksexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien, wobei   und   jeweils genügend Injektive haben und   injektive Objekte auf  -azyklische Objekte abbildet (d. h.   für alle  ), dann existiert für jedes Objekt   in   eine Spektralsequenz

 

wobei   jeweils die i-te rechte Ableitung des entsprechenden Funktors bezeichnet, und der Pfeil „ Konvergenz von Spektralsequenzen meint.

Fünfterm exakte Sequenz

Bearbeiten

Die Fünfterm exakte Sequenz lautet

 

Beispiel

Bearbeiten

Leray-Spektralsequenz

Bearbeiten

Es sei   eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dann ist das direkte Bild   ein linksexakter Funktor zwischen den Garben auf   und den Garben auf  . Wir nennen   den globalen Schnittfunktor auf  , analog auf  . Dann gilt   nach Definition von  , und   bildet injektive auf  -azyklische Objekte ab. Also existiert für jede Garbe   auf   eine Spektralsequenz mit

 

genannt die Leray-Spektralsequenz.

Beweisidee

Bearbeiten

Wähle eine  -azyklische Auflösung   von  . Wir können eine injektive Auflösung für den Komplex   konstruieren[1]:

 .

Nun ist   ein Doppelkomplex, zu dem zwei Spektralsequenzen gebildet werden können:

 ,

was immer 0 ist für  , da   nach Voraussetzung  -azyklisch ist. Also ist

  und  .

Außerdem haben wir:

  (die letzte Gleichheit gilt, wie leicht nachgeprüft werden kann, da   injektiv und   linksexakt ist).

Da   eine injektive Auflösung von   ist, gilt:

 

Da die beiden Spektralsequenzen den gleichen Grenzterm haben, ist die Aussage gezeigt.

Literatur

Bearbeiten
  • Roger Godement: Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Hrsg.: Hermann. Paris 1973.
  • Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 211). Überarbeitete 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 821.
  • Charles Weibel: An introduction to homological algebra. Hrsg.: Cambridge University Press (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics). 38. Auflage. 1994, ISBN 978-0-521-55987-4.
Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Charles Weibel: An introduction to homological algebra. Hrsg.: Cambridge University Press (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics). 38. Auflage. 1994, ISBN 978-0-521-55987-4.