Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz

In der Mathematik, genauer in der Gruppenkohomologie, in der homologischen Algebra und in der Zahlentheorie, ist die Lyndon-Spektralsequenz oder Hochschild-Serre-Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung der Kohomologie einer Gruppe mithilfe der Kohomologie einer normalen Untergruppe und der zugehörigen Quotientengruppe. Die Spektralsequenz ist eine Anwendung der Grothendieck-Spektralsequenz und wurde benannt nach Roger Lyndon, Gerhard Hochschild und Jean-Pierre Serre.

Es sei   eine Gruppe,   eine normale Untergruppe, und es sei A ein  -Modul. Dann gibt es eine kohomologische Spektralsequenz

 

und eine homologische Spektralsequenz

 ,

wobei die Pfeile " " Konvergenz von Spektralsequenzen meinen.

Fünfterm exakte Sequenz

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Die zugehörige Fünfterm exakte Sequenz lautet

 

Beispiel

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Sei   die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus ganzen Zahlen, d. h.

 .

Dann ist   eine zentrale Erweiterung   der Gruppe  , mit Zentrum   zugehörig zur Untergruppe mit a=c=0. Mithilfe der Spektralsequenz kann die Homologie berechnet werden[1]:

 

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Kevin P. Knudson: Homology of Linear Groups. Hrsg.: Birkhäuser Verlag (= Progress in Mathematics). 193. Auflage. Basel 2001, ISBN 3-7643-6415-7, doi:10.1007/978-3-0348-8338-2.