Halbeinfache Darstellung

Halbeinfache Darstellungen sind ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie.

Definition

Eine Darstellung heißt halbeinfach, wenn sie die direkte Summe irreduzibler Darstellungen ist.

Beispiele

• Jede Darstellung einer endlichen Gruppe ist halbeinfach.
• Jede Darstellung einer kompakten Lie-Gruppe ist halbeinfach.
• Jede Darstellung einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist halbeinfach.
• Die durch

$\rho (n)=\left({\begin{array}{cc}1&n\\0&1\end{array}}\right)$

gegebene Darstellung $\rho \colon \mathbb {Z} \to SL(2,\mathbb {C} )$ ist reduzibel, aber nicht halbeinfach.

• Sei $\Gamma =\langle A,B\mid ABA=BAB\rangle$ die Knotengruppe der Kleeblattschlinge und $\xi$ eine primitive 12-te Einheitswurzel mit $\xi ^{4}-\xi ^{2}+1=0$. Die durch

$\rho (A)=\left({\begin{array}{cc}\xi &0\\0&\xi ^{-1}\end{array}}\right),\rho (B)=\left({\begin{array}{cc}\xi &1\\0&\xi ^{-1}\end{array}}\right)$

gegebene Darstellung $\rho \colon \Gamma \to SL(2,\mathbb {C} )$ ist reduzibel, aber nicht halbeinfach.

Siehe auch

• Halbeinfacher Modul

Literatur

• Serge Lang, Algebra
• Nathan Jacobson, Basic Algebra II