Harmonische Norm

Norm auf der Kohomologie von Mannigfaltigkeiten

In der Mathematik ist die harmonische Norm eine Norm auf der Kohomologie von Mannigfaltigkeiten.

Definition

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Sei   eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die harmonische Norm einer de-Rham-Kohomologie-Klasse ist definiert als die  -Norm des (nach dem Satz von Hodge) harmonischen Repräsentanten der Kohomologieklasse, äquivalent als das Infimum über die  -Norm geschlossener Differentialformen in der Kohomologieklasse. Dabei ist die  -Norm einer Differentialform   definiert durch

 

mit dem Hodge-Stern-Operator  .

Beziehung zur Gromov-Norm

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Für die Gromov-Norm   einer Homologieklasse   und die harmonische Norm der Poincaré-dualen Kohomologieklasse   gilt die Ungleichung[1]

 ,

wenn   eine  -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Ricci-Krümmung   ist.

Umgekehrt lassen sich für negativ gekrümmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten oder lokal symmetrische Räume nichtkompakten Typs bei Homologieklassen nichtverschwindender Gromov-Norm obere Schranken für die harmonische Norm in Abhängigkeit vom Injektivitätsradius und der Gromov-Norm angeben.[2]

Literatur

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  • N. Bergeron, M. H. Șengün, A. Venkatesh: Torsion homology growth and cycle complexity of arithmetic manifolds. Duke Math. J. 165, No. 9, 1629–1693 (2016).
  • N. Dunfield, J. Brock: Norms on the cohomology of hyperbolic 3-manifolds. Invent. Math. 210, No. 2, 531–558 (2017).
  • C. Connell, S. Wang: Homological norms on nonpositively curved manifolds. Comment. Math. Helv. 97, No. 4, 801–825 (2022).

Einzelnachweise

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  1. Connell-Wang (op.cit.), Theorem 1.5
  2. Connell-Wang (op.cit.), Theorem 1.6 und Theorem 1.9