Hilbert-Carleman-Determinante

Determinanten-Begriff für Integraloperatoren auf Banach-Räumen

In der Funktionalanalysis ist die Hilbert-Carleman-Determinante ein Determinanten-Begriff für Integraloperatoren auf Banach-Räumen, deren Kern nicht zwingend stetig ist. Die Fredholm-Determinante kann bei Integraloperatoren, deren Kern auf der Diagonale nicht stetig ist, im Allgemeinen nicht definiert werden. Wie diese ist auch die Hilbert-Carleman-Determinante für die Summe des Identitätsoperators mit einem Spurklasseoperators definiert, bei der Hilbert-Carleman-Determinante jedoch nur für Integraloperatoren.

Die Hilbert-Carleman-Determinante ist nach David Hilbert (1904[1]) und Torsten Carleman (1921[2]) benannt.

Hilbert-Carleman-Determinante

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Sei   und   der Lp-Raum über einem Maßraum   und dem Lebesgue-Maß   und  . Sei

 

ein Integraloperator auf dem Banach-Raum   und   der Identitätsoperator, dann ist die Hilbert-Carleman-Determinante von   definiert als

 ,

wobei

 .[3]

Erläuterungen

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  • Die Matrix oben besitzt auf der Diagonalen nur Nullen und an den restlichen Positionen die entsprechenden Werte des Kerns.
  • Im Gegensatz zur Fredholm-Determinante ist die Hilbert-Carleman-Determinante nicht multiplikativ.
  • Falls   ein Spurklasseoperator ist, dann gilt folgende Beziehung zur Fredholm-Determinant (notiert mit  )
 

Einzelnachweise

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  1. David Hilbert: Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. In: Nach. Wiss. Math. Phys. Gott. 1904, S. 49–91.
  2. Torsten Carleman: Zur Theorie der linearen Integralgleichungen. In: Math. Zeit. Band 9, 1921, S. 196–217, doi:10.1007/BF01279029.
  3. Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik: Traces and Determinants of Linear Operators (= Operator Theory: Advances and Applications. Band 116). ISBN 978-3-7643-6177-8, S. 159–160.