Hilbert-Carleman-Determinante

In der Funktionalanalysis ist die Hilbert-Carleman-Determinante ein Determinanten-Begriff für Integraloperatoren auf Banach-Räumen, deren Kern nicht zwingend stetig ist. Die Fredholm-Determinante kann bei Integraloperatoren, deren Kern auf der Diagonale nicht stetig ist, im Allgemeinen nicht definiert werden. Wie diese ist auch die Hilbert-Carleman-Determinante für die Summe des Identitätsoperators mit einem Spurklasseoperators definiert, bei der Hilbert-Carleman-Determinante jedoch nur für Integraloperatoren.

Die Hilbert-Carleman-Determinante ist nach David Hilbert (1904) und Torsten Carleman (1921) benannt.

Hilbert-Carleman-Determinante

Sei $T\subseteq \mathbb {R}$ und $B:=L_{p}(T,\Sigma ,\mu )$ der L^p-Raum über einem Maßraum $(T,\Sigma ,\mu )$ und dem Lebesgue-Maß $\mu$ und $1\leq p<\infty$. Sei

$Af=\int _{T}k(t,s)f(s)\mathrm {d} \mu (s)$

ein Integraloperator auf dem Banach-Raum $B$ und $I$ der Identitätsoperator, dann ist die Hilbert-Carleman-Determinante von $I+A$ definiert als

$\operatorname {Det} (I+A)=1+\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\psi _{n}(A)$,

wobei

$\psi _{n}(A)=\int _{T^{n}}\operatorname {det} {\begin{pmatrix}0&k(t_{1},t_{2})&\cdots &k(t_{1},t_{n})\\k(t_{2},t_{1})&0&\cdots &k(t_{2},t_{n})\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\k(t_{n},t_{1})&k(t_{n},t_{2})&\cdots &0\\\end{pmatrix}}\prod \limits _{i=1}^{n}\mathrm {d} \mu (t_{i})$.

Erläuterungen

• Die Matrix oben besitzt auf der Diagonalen nur Nullen und an den restlichen Positionen die entsprechenden Werte des Kerns.
• Im Gegensatz zur Fredholm-Determinante ist die Hilbert-Carleman-Determinante nicht multiplikativ.
• Falls $A$ ein Spurklasseoperator ist, dann gilt folgende Beziehung zur Fredholm-Determinant (notiert mit $\operatorname {det}$)

$\operatorname {Det} (I+A)=\operatorname {det} (I+A)\exp(-\operatorname {tr} (A)).$