Hilbertalgebra
Hilbertalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um Algebren mit einer zusätzlichen Prä-Hilbertraum-Struktur, woraus sich der Name Hilbertalgebra erklärt. Auf der Vervollständigung lassen sich Von-Neumann-Algebren konstruieren, was letztlich zu einer Charakterisierung der semiendlichen Von-Neumann-Algebren führt. Eine Verallgemeinerung dieser Konstruktion, die für jede Von-Neumann-Algebra gilt, führt zum Begriff der verallgemeinerten Hilbertalgebra und ist Ausgangspunkt der Tomita-Takesaki-Theorie.
Definitionen
BearbeitenEine Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution und einem Skalarprodukt , das zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
- für alle
- für alle
- Für jedes ist die Abbildung stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
- Aus für alle folgt .
Im Folgenden sei der Hilbertraum, der sich als Vervollständigung von ergibt. Aus der ersten Bedingung folgt, dass sich die Involution zu einer stetigen, konjugiert linearen Abbildung fortsetzt, für die
- und für alle
gilt, man nennt die kanonisch durch definierte Involution auf .
Die Abbildungen und setzen sich für jedes zu stetigen linearen Operatoren und fort, so dass gilt:
- ist ein involutiver Homomorphismus
- ist ein involutiver Antiomomorphismus
- für alle
- und für alle
Die abgeschlossenen Hüllen bzgl. der schwachen Operatortopologie von und werden mit und bezeichnet und heißen die links-assoziierte bzw. rechts-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu . Zum Nachweis, dass es sich tatsächlich um Von-Neumann-Algebren handelt, insbesondere dass diese Algebren die Identität enthalten, benötigt man die vierte Bedingung obiger Definition.[1]
Man nennt eine Von-Neumann-Algebra eine Standard-von-Neumann-Algebra, wenn sie von der Form ist.[2]
Beispiel
BearbeitenDie H*-Algebra Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren auf einem Hilbertraum ist eine Hilbertalgebra. Bezeichnet den konjugierten Hilbertraum, so ist isomorph zum Hilbertraum-Tensorprodukt . Für ist der eindimensionale Operator , wenn das Skalarprodukt in der ersten Komponente linear und in der zweiten konjugiert linear ist. Dann ist
und daher
- ,
also
- ,
wobei das mit dem Querstrich bezeichnete Tensorprodukt das Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren sei. Daraus liest man
ab, denn die Linearkombinationen aus den eindimensionalen Operatoren liegen dicht in den jeweiligen Algebren.[3]
Semiendliche Von-Neumann-Algebren
BearbeitenDie Von-Neumann-Algebren, die als links-assoziierte Von-Neumann-Algebren von Hilbertalgebren auftreten, sind genau die semiendlichen Von-Neumann-Algebren.[4] Ist eine Hilbertalgebra, so ist durch eine semiendliche, normale, treue Spur gegeben, die zu einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra macht. Ist umgekehrt eine semiendliche Von-Neumann-Algebra mit einer solchen Spur, so ist mit dem durch definierten Skalarprodukt eine Hilbertalgebra, deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu isomorph ist.
Verallgemeinerte Hilbertalgebra
BearbeitenEine verallgemeinerte Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution und einem Skalarprodukt , das zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Die Abbildung ist ein abschließbarer, konjugiert-linearer Operator in der Vervollständigung .
- für alle
- Für jedes ist die Abbildung stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
- Aus für alle folgt .[5]
Verallgemeinerte Hilbertalgebren werden auch links-Hilbertalgebren genannt.[6]
Hilbertalgebren sind verallgemeinerte Hilbertalgebren. Dazu muss man zeigen, dass die Abbildung , abschließbar ist, das heißt aus und bereits folgt. Für jedes folgt unter Anwendung der ersten definierenden Eigenschaft einer Hilbertalgebra
und daher , denn war beliebig, das heißt steht senkrecht auf einer dichten Teilmenge der Vervollständigung.
Wie oben setzen sich die Abbildungen zu Operatoren auf fort, ihre schwach-abgeschlossene Hülle bildet die links-assoziierte Von-Neumann-Algebra von . Der Abschluss der Abbildung heißt Sharp-Operator, weshalb die Involution von vielen Autoren mit dem Sharp-Zeichen # geschrieben wird. Seine Polarzerlegung führt zu den Formeln, die im Artikel zur Tomita-Takesaki-Theorie beschrieben sind.
Eine beliebige Von-Neumann-Algebra hat ein treues, normales, semiendliches Gewicht . Dann ist eine verallgemeinerte Hilbertalgebra,[7] deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu isomorph ist.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel I.5.1: Definition of Hilbert algebras.
- ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel I, §5, Absatz 5, Definition 7.
- ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 5: Normal traces on L(H).
- ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 2, Theorem 1 und Theorem 2.
- ↑ M. Takesaki: Tomita's theory of modular Hilbert-algebras and its applications. Lecture Notes in Mathematics, Band 128, Springer-Verlag 1970, §2.
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II. Academic Press, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Definition 9.2.41.
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393302-1, Satz 9.2.40.