Hilbertalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um Algebren mit einer zusätzlichen Prä-Hilbertraum-Struktur, woraus sich der Name Hilbertalgebra erklärt. Auf der Vervollständigung lassen sich Von-Neumann-Algebren konstruieren, was letztlich zu einer Charakterisierung der semiendlichen Von-Neumann-Algebren führt. Eine Verallgemeinerung dieser Konstruktion, die für jede Von-Neumann-Algebra gilt, führt zum Begriff der verallgemeinerten Hilbertalgebra und ist Ausgangspunkt der Tomita-Takesaki-Theorie.

Definitionen

Bearbeiten

Eine Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra   über dem Körper   der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution   und einem Skalarprodukt  , das   zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

  •   für alle  
  •   für alle  
  • Für jedes   ist die Abbildung   stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
  • Aus   für alle   folgt  .

Im Folgenden sei   der Hilbertraum, der sich als Vervollständigung von   ergibt. Aus der ersten Bedingung folgt, dass sich die Involution zu einer stetigen, konjugiert linearen Abbildung   fortsetzt, für die

  und   für alle  

gilt, man nennt   die kanonisch durch   definierte Involution auf  .

Die Abbildungen   und   setzen sich für jedes   zu stetigen linearen Operatoren   und   fort, so dass gilt:

  ist ein involutiver Homomorphismus
  ist ein involutiver Antiomomorphismus
  für alle  
  und   für alle  

Die abgeschlossenen Hüllen bzgl. der schwachen Operatortopologie von   und   werden mit   und   bezeichnet und heißen die links-assoziierte bzw. rechts-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu  . Zum Nachweis, dass es sich tatsächlich um Von-Neumann-Algebren handelt, insbesondere dass diese Algebren die Identität   enthalten, benötigt man die vierte Bedingung obiger Definition.[1]

Man nennt eine Von-Neumann-Algebra eine Standard-von-Neumann-Algebra, wenn sie von der Form   ist.[2]

Beispiel

Bearbeiten

Die H*-Algebra Algebra   der Hilbert-Schmidt-Operatoren auf einem Hilbertraum   ist eine Hilbertalgebra. Bezeichnet   den konjugierten Hilbertraum, so ist   isomorph zum Hilbertraum-Tensorprodukt  . Für   ist   der eindimensionale Operator  , wenn das Skalarprodukt in der ersten Komponente linear und in der zweiten konjugiert linear ist. Dann ist

 

und daher

 ,

also

 
 ,

wobei das mit dem Querstrich bezeichnete Tensorprodukt das Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren sei. Daraus liest man

 

ab, denn die Linearkombinationen aus den eindimensionalen Operatoren   liegen dicht in den jeweiligen Algebren.[3]

Semiendliche Von-Neumann-Algebren

Bearbeiten

Die Von-Neumann-Algebren, die als links-assoziierte Von-Neumann-Algebren von Hilbertalgebren auftreten, sind genau die semiendlichen Von-Neumann-Algebren.[4] Ist   eine Hilbertalgebra, so ist durch   eine semiendliche, normale, treue Spur gegeben, die   zu einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra macht. Ist umgekehrt   eine semiendliche Von-Neumann-Algebra mit einer solchen Spur, so ist   mit dem durch   definierten Skalarprodukt eine Hilbertalgebra, deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu   isomorph ist.

Verallgemeinerte Hilbertalgebra

Bearbeiten

Eine verallgemeinerte Hilbertalgebra ist eine assoziative Algebra   über dem Körper   der komplexen Zahlen zusammen mit einer Involution   und einem Skalarprodukt  , das   zu einem Prä-Hilbertraum macht, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Die Abbildung   ist ein abschließbarer, konjugiert-linearer Operator in der Vervollständigung  .
  •   für alle  
  • Für jedes   ist die Abbildung   stetig in der durch das Skalarprodukt definierten Normtopologie.
  • Aus   für alle   folgt  .[5]

Verallgemeinerte Hilbertalgebren werden auch links-Hilbertalgebren genannt.[6]

Hilbertalgebren sind verallgemeinerte Hilbertalgebren. Dazu muss man zeigen, dass die Abbildung  ,   abschließbar ist, das heißt aus   und   bereits   folgt. Für jedes   folgt unter Anwendung der ersten definierenden Eigenschaft einer Hilbertalgebra

 

und daher  , denn   war beliebig, das heißt   steht senkrecht auf einer dichten Teilmenge der Vervollständigung.

Wie oben setzen sich die Abbildungen   zu Operatoren   auf   fort, ihre schwach-abgeschlossene Hülle bildet die links-assoziierte Von-Neumann-Algebra von  . Der Abschluss   der Abbildung   heißt Sharp-Operator, weshalb die Involution von vielen Autoren mit dem Sharp-Zeichen # geschrieben wird. Seine Polarzerlegung   führt zu den Formeln, die im Artikel zur Tomita-Takesaki-Theorie beschrieben sind.

Eine beliebige Von-Neumann-Algebra   hat ein treues, normales, semiendliches Gewicht  . Dann ist   eine verallgemeinerte Hilbertalgebra,[7] deren links-assoziierte Von-Neumann-Algebra zu   isomorph ist.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel I.5.1: Definition of Hilbert algebras.
  2. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel I, §5, Absatz 5, Definition 7.
  3. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 5: Normal traces on L(H).
  4. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 2, Theorem 1 und Theorem 2.
  5. M. Takesaki: Tomita's theory of modular Hilbert-algebras and its applications. Lecture Notes in Mathematics, Band 128, Springer-Verlag 1970, §2.
  6. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II. Academic Press, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Definition 9.2.41.
  7. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393302-1, Satz 9.2.40.