Semiendliche Von-Neumann-Algebra

Semiendliche Von-Neumann-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um Von-Neumann-Algebren ohne Typ III-Anteil.

Definition

Jede Von-Neumann-Algebra $A$ enthält eine größte Orthogonalprojektion $p_{\infty }$ in ihrem Zentrum, so dass $p_{\infty }A$ eine Von-Neumann-Algebra vom Typ III ist. $A$ heißt semiendlich, falls $p_{\infty }=0$.

Beispiele

• Endliche Von-Neumann-Algebren sind semiendlich.
• Abelsche Von-Neumann-Algebren sind semiendlich.
• Typ I- und Typ II Von-Neumann-Algebren sind semiendlich.
• Die Von-Neumann-Algebra aller stetigen, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum ist semiendlich.

Eigenschaften

Spuren

Semiendliche Von-Neumann-Algebren $A$ zeichnen sich dadurch aus, dass sie ein semiendliches, normales, treues Spurgewicht besitzen, das heißt, es gibt eine Abbildung $\phi \colon A^{+}\rightarrow [0,\infty ]$ auf der Menge der positiven Elemente von $A$ mit folgenden Eigenschaften:

• $\phi (a+\lambda b)=\phi (a)+\lambda \phi (b)$ für alle $a,b\in A^{+}$ und $\lambda \in \mathbb {R} ^{+}$ mit den üblichen Konventionen für das Rechnen mit unendlich.
• $\phi (u^{*}au)=\phi (a)$ für alle $a\in A^{+}$ und alle unitären Elemente $u\in A$.
• Für jedes $a\in A^{+}$ ist $\phi (a)$ das Supremum der $\phi (b)$ mit $b\in A^{+}$, $b\leq a$ und $\phi (b)<\infty$ (Semiendlichkeit der Spur).
• Für jedes aufsteigende Netz $\textstyle (a_{i})_{i\in I}$ in $A^{+}$ mit Supremum $a\in A^{+}$ gilt $\textstyle \phi (a)=\sup _{i\in I}\phi (a_{i})$ (Normalität der Spur).
• Für jedes $a\in A^{+}$ folgt $a=0$ aus $\phi (a)=0$ (Treue der Spur).

Im unten angegebenen Lehrbuch Von Neumann Algebras von Jacques Dixmier ist dies die Definition der semiendlichen Von-Neumann-Algebren.

Vererbungseigenschaften

Die Kommutante einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra ist wieder semiendlich. Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann semiendlich, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist, deren Kommutante eine endliche Von-Neumann-Algebra ist.

Tensorprodukte endlich vieler semiendlicher Von-Neumann-Algebren sind wieder semiendlich. Beliebige direkte Produkte semiendlicher Von-Neumann-Algebren sind wieder semiendlich.

Da die Algebra $L(H)$ aller beschränkten, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum semiendlich ist, kann es keine Vererbung dieser Eigenschaft auf Unteralgebren geben, denn jede Von-Neumann-Algebra ist ja Unteralgebra einer solchen Algebra $L(H)$.

Hilbert-Algebren

→ Hauptartikel: Hilbertalgebra

Die seminendlichen Von-Neumann-Algebren sind genau diejenigen von Neumann-Algebren, die isomorph zur links-assoziierten Von-Neumann-Algebra einer Hilbertalgebra sind.

Tomita-Takesaki-Theorie

In der Tomita-Takesaki-Theorie zeigt man, dass eine Von-Neumann-Algebra genau dann semiendlich, wenn ihre modulare Gruppe inner ist. Genauer gilt: Ist $\varphi$ ein treuer, normaler Zustand auf einer Von-Neumann-Algebra $A$ und $t\mapsto \sigma _{t}^{\varphi }$ die zugehörige modulare Gruppe, so ist $A$ genau dann semiendlich, wenn es einen im Allgemeinen unbeschränkten, positiven und injektiven Operator $h$ gibt mit

1. $h=uhu^{*}$ für alle unitären Operatoren $u\in A^{'}$
2. $\sigma _{t}^{\varphi }(a)=h^{it}ah^{-it}$ für alle $t\in \mathbb {R}$ und $a\in A$.

Wäre $h$ beschränkt, so würde dieser Operator gemäß der ersten Bedingung mit jedem unitären Operator aus der Kommutante $A^{'}$ kommutieren, und daher mit jedem Operator aus $A^{'}$, und er wäre daher nach dem Bikommutantensatz ein Element aus $A$. In diesem Sinne "gehört" also der unbeschränkte Operator $h$ zu $A$. Mit dem unbeschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt sich, dass die Operatoren $h^{it}$ unitäre Operatoren aus $A$ sind, das heißt, die $\sigma _{t}^{\varphi }$ sind innere Automorphismen.