Semiendliche Von-Neumann-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um Von-Neumann-Algebren ohne Typ III-Anteil.

Definition

Bearbeiten

Jede Von-Neumann-Algebra   enthält eine größte Orthogonalprojektion   in ihrem Zentrum, so dass   eine Von-Neumann-Algebra vom Typ III ist.   heißt semiendlich, falls  .[1]

Beispiele

Bearbeiten

Eigenschaften

Bearbeiten

Semiendliche Von-Neumann-Algebren   zeichnen sich dadurch aus, dass sie ein semiendliches, normales, treues Spurgewicht besitzen, das heißt, es gibt eine Abbildung   auf der Menge der positiven Elemente von   mit folgenden Eigenschaften:

  •   für alle   und   mit den üblichen Konventionen für das Rechnen mit unendlich.
  •   für alle   und alle unitären Elemente  .
  • Für jedes   ist   das Supremum der   mit  ,   und   (Semiendlichkeit der Spur).
  • Für jedes aufsteigende Netz   in   mit Supremum   gilt   (Normalität der Spur).
  • Für jedes   folgt   aus   (Treue der Spur).

Im unten angegebenen Lehrbuch Von Neumann Algebras von Jacques Dixmier ist dies die Definition der semiendlichen Von-Neumann-Algebren.[2]

Vererbungseigenschaften

Bearbeiten

Die Kommutante einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra ist wieder semiendlich.[3] Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann semiendlich, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist, deren Kommutante eine endliche Von-Neumann-Algebra ist.[4]

Tensorprodukte endlich vieler semiendlicher Von-Neumann-Algebren sind wieder semiendlich.[5] Beliebige direkte Produkte semiendlicher Von-Neumann-Algebren sind wieder semiendlich.[6]

Da die Algebra   aller beschränkten, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum semiendlich ist, kann es keine Vererbung dieser Eigenschaft auf Unteralgebren geben, denn jede Von-Neumann-Algebra ist ja Unteralgebra einer solchen Algebra  .

Hilbert-Algebren

Bearbeiten

Die seminendlichen Von-Neumann-Algebren sind genau diejenigen von Neumann-Algebren, die isomorph zur links-assoziierten Von-Neumann-Algebra einer Hilbertalgebra sind.

Tomita-Takesaki-Theorie

Bearbeiten

In der Tomita-Takesaki-Theorie zeigt man, dass eine Von-Neumann-Algebra genau dann semiendlich, wenn ihre modulare Gruppe inner ist. Genauer gilt: Ist   ein treuer, normaler Zustand auf einer Von-Neumann-Algebra   und   die zugehörige modulare Gruppe, so ist   genau dann semiendlich, wenn es einen im Allgemeinen unbeschränkten, positiven und injektiven Operator   gibt mit

  1.   für alle unitären Operatoren  
  2.   für alle   und  .[7]

Wäre   beschränkt, so würde dieser Operator gemäß der ersten Bedingung mit jedem unitären Operator aus der Kommutante   kommutieren, und daher mit jedem Operator aus  , und er wäre daher nach dem Bikommutantensatz ein Element aus  . In diesem Sinne "gehört" also der unbeschränkte Operator   zu  . Mit dem unbeschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt sich, dass die Operatoren   unitäre Operatoren aus   sind, das heißt, die   sind innere Automorphismen.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Ende von Abschnitt 6.5.2
  2. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras, North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 7, Definition 5 und Satz 9
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Korollar 9.1.4
  4. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras, North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil III, Kap. 2, Abs. 4, Korollar 3
  5. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras, North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 8, Satz 12
  6. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras, North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 7, Satz 7
  7. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 9.2.21