Hochschild-Homologie und Kohomologie

mathematische Theorie

Die Hochschild-Homologie und Kohomologie, benannt nach Gerhard Hochschild, ist eine mathematische Theorie, die speziell auf die Untersuchung von Algebren zugeschnitten ist. Es handelt sich um eine Homologie- bzw. Kohomologie-Theorie, die sich aus Kettenkomplexen bzw. Kokettenkomplexen ergibt, die eng mit der Algebrenstruktur zusammenhängen.

Konstruktion der Homologiegruppen

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Wir betrachten im Folgenden eine assoziative Algebra   mit Einselement über einem Körper  , kurz eine K-Algebra. Ferner sei ein  -Bimodul   gegeben, das heißt die Modulelemente können von links und rechts mit Elementen aus der Algebra multipliziert werden, so dass die zugehörigen Links- und Rechtmodulstrukturen verträglich sind, was   für alle   und   bedeutet. Bezeichnet man mit   das  -fache Tensorprodukt von   mit sich selbst, wobei  , so lassen sich folgende Abbildungen definieren:

 
 

wobei sich die   zu K-linearen Abbildungen fortsetzen. Weiter sei  , das heißt

 
 
 

und so weiter. Dann gilt   für alle  , das heißt man erhält einen Kettenkomplex

 .

Die Hochschild-Homologie von   mit Werten in   ist als Homologie dieses Kettenkomplexes definiert, das heißt die  -te Hochschild-Homologiegruppe von   mit Werten in   ist die Faktorgruppe

 ,

wobei   gesetzt wurde. Da die obigen Definitionen der   von der Algebren- und Bimodulstruktur Gebrauch machen, können die Hochschild-Homologiegruppen Informationen über die Algebra   enthalten.

Konstruktion der Kohomologiegruppen

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Die Hochschild-Kohomologiegruppen erhält man durch eine analoge Konstruktion aus Räumen   von  -linearen Homomorphismen  , wobei   wieder die betrachtete  -Algebra und   ein  -Bimodul seien. Für   erhält man  .

Wir definieren wieder Abbildungen

 .

Ist  , so müssen wir festlegen, wie   auf   wirkt und dabei ein Element aus   ergibt, und das geht so

 

Man setzt, diesmal mit einem oberen Index:

 ,

das heißt

 
 
 

und so weiter. Dann gilt   für alle  . Man erhält also einen Kokettenkomplex

 .

Die Hochschild-Kohomologie von   mit Werten in   ist als Kohomologie dieses Kokettenkomplexes definiert, das heißt die  -te Hochschild-Kohomologiegruppe von   mit Werten in   ist die Faktorgruppe

 ,

wobei   der Nullmorphismus   ist.

Auch hier geht die Algebrenstruktur von   in die Definitionen ein, so dass die Hochschild-Kohomologiegruppen Informationen über die Algebra enthalten.

Beispiele

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In den folgenden Beispielen, die in den Hochschild-Homomlogie- und Kohomologiegruppen steckende Informationen belegen sollen, seien   wieder eine assoziative  -Algebra mit Einselement und   ein  -Bimodul. Die  -te Hochschild-Homologie und Kohomologiegruppen lassen sich leicht bestimmen:

 ,

wobei  , der Kommutator aus   und  , das Erzeugnis aus allen   ist.

Weiter ist

 .

  ist auf natürliche Weise ein  -Bimodul, wobei die Verträglichkeitsbedingung genau durch das Assoziativgesetz gegeben ist. Als Spezialfall erhält man daher

  und  ,

wobei   das Zentrum von   ist.

Eine  -Derivation auf   mit Werten in   ist eine  -lineare Abbildung   mit der zusätzlichen Eigenschaft  , die an die Produktregel für das Ableiten erinnert. Mit   sei die Menge aller Derivationen bezeichnet. Für jedes   ist durch   eine solche Derivation gegeben. Derartige Derivationen   nennt man innere Derivationen,   bezeichne die Menge aller inneren Derivationen. Eine Inspektion der oben für   und   angegebenen Formeln zeigt

 ,  

und daher

 .

Die erste Hochschild-Kohomologiegruppe gibt also Auskunft über die Reichhaltigkeit der Derivationen, ihr Verschwinden bedeutet, dass alle Derivationen inner sind.

Multilineare Abbildungen

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Die Hochschild-Kohomologiegruppen können alternativ mittels der Räume   der multilinearen Abbildungen   eingeführt werden. Man setzt für   und  :

 

und man kommt zu einem entsprechenden Kokettenkomplex

 ,

mit dem man wieder Kohomologiegruppen definieren kann. Man erhält zu den oben definierten   isomorphe Gruppen, da sich multilineare Abbildungen   und lineare Abbildungen   nach Konstruktion des Tensorproduktes 1 zu 1 entsprechen.

Topologische Algebren

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Die oben vorgestellten Konzepte lassen sich auch für topologische Algebren, insbesondere Banachalgebren, ausführen, wobei man bei der Tensorproduktbildung im Falle von Banachalgebren das projektive Tensorprodukt verwendet und sich bei allen auftretenden Abbildungen auf stetige Abbildungen beschränkt.

Literatur

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  • Henri Cartan, Samuel Eilenberg: Homological Algebra, Princeton University Press (1999), ISBN 978-0-691-04991-5, insbesondere Kapitel X
  • A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers (1989), ISBN 0-7923-0217-6.
  • G. Hochschild: On the Cohomology Groups of an Associative Algebra, Annals of Mathematics Band 46 (1945), Seiten 58–76