In der Mathematik sind hyperkonvexe Kurven gewisse Kurven im projektiven Raum, die unter anderem in der Darstellungstheorie von Flächengruppen von Bedeutung sind.

Hyperkonvexe Kurven im projektiven Raum

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Sei  . Der projektive Raum   ist der Raum aller 1-dimensionalen Unterräume des  . Eine geschlossene Kurve

 

heißt hyperkonvex, wenn für jedes  -Tupel   paarweise unterschiedlicher Punkte gilt:

 ,

mit anderen Worten: wenn kein   in der linearen Hülle der   enthalten ist.

Frenet-Kurven

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Eine hyperkonvexe Kurve   heißt Frenet-Kurve, wenn es eine Familie   von Abbildungen

 

in die Grassmann-Mannigfaltigkeit   gibt, so dass

  •  
  • für   und alle  -Tupel   paarweise unterschiedlicher Punkte ist   eine direkte Summe
  • für   und für jede gegen   konvergierende Folge   von r-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte   ist  .

Man beachte, dass die   durch   eindeutig bestimmt sind. Falls   beliebig oft differenzierbar ist, dann ist   der von   aufgespannte Unterraum, der Begriff stimmt also mit dem in der Differentialgeometrie gebräuchlichen Begriff einer Frenet-Kurve überein.

Hitchin-Komponente

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Die Hitchin-Komponente ist eine Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät einer Flächengruppe   in  , siehe Höhere Teichmüller-Theorie, die von Hitchin ursprünglich mit Hilfe von Higgs-Bündeln beschrieben wurde. Einer geometrischen Untersuchung zugänglich wird die Hitchin-Komponente durch folgenden Satz von Labourie:

Wenn eine Darstellung   einer Flächengruppe zur Hitchin-Komponente gehört, dann gibt es eine hyperkonvexe Frenet-Kurve

 ,

die  -äquivariant bzgl. der kanonischen Wirkung von   auf ihrem Rand im Unendlichen   und von   auf   ist. Man kann zeigen, dass jede äquivariante hyperkonvexe Kurve eine Frenet-Kurve ist. (Labourie)

Darstellungen, für die eine äquivariante hyperkonvexe Kurve existiert, werden als hyperkonvexe Darstellungen bezeichnet.

Es gilt auch die Umkehrung: Wenn eine Darstellung hyperkonvex ist, dann gehört sie zur Hitchin-Komponente. (Guichard)

Literatur

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  • François Labourie: Anosov flows, surface groups and curves in projective space. Invent. Math. 165 (2006), no. 1, 51–114. pdf
  • Olivier Guichard: Composantes de Hitchin et représentations hyperconvexes de groupes de surface. J. Differential Geom. 80 (2008), no. 3, 391–431 pdf