Hyperkonvexe Kurve

In der Mathematik sind hyperkonvexe Kurven gewisse Kurven im projektiven Raum, die unter anderem in der Darstellungstheorie von Flächengruppen von Bedeutung sind.

Hyperkonvexe Kurven im projektiven Raum

Sei $n\in \mathbb {N}$. Der projektive Raum $\mathbb {R} P^{n-1}=P(\mathbb {R} ^{n})$ ist der Raum aller 1-dimensionalen Unterräume des $\mathbb {R} ^{n}$. Eine geschlossene Kurve

$\gamma :S^{1}\rightarrow P(\mathbb {R} ^{n})$

heißt hyperkonvex, wenn für jedes $n$-Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ paarweise unterschiedlicher Punkte gilt:

$\mathbb {R} ^{n}=\gamma (x_{1})\oplus \ldots \oplus \gamma (x_{n})$,

mit anderen Worten: wenn kein $\gamma (x_{i})$ in der linearen Hülle der $\gamma (x_{j}),j\not =i$ enthalten ist.

Frenet-Kurven

Eine hyperkonvexe Kurve $\gamma :S^{1}\rightarrow P(\mathbb {R} ^{n})$ heißt Frenet-Kurve, wenn es eine Familie $(\gamma ^{1},\ldots ,\gamma ^{n-1})$ von Abbildungen

$\gamma ^{p}:S^{1}\rightarrow Gr(p,n)$

in die Grassmann-Mannigfaltigkeit $Gr(p,n)$ gibt, so dass

• $\gamma ^{1}=\gamma$
• für $l_{1}+\ldots +l_{r}\leq n$ und alle $r$-Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{r})$ paarweise unterschiedlicher Punkte ist $\gamma ^{l_{1}}(x_{1})+\ldots +\gamma ^{l_{r}}(x_{r})$ eine direkte Summe
• für $l_{1}+\ldots +l_{r}\leq n$ und für jede gegen $(x,\ldots ,x)$ konvergierende Folge $(X_{i})_{i\in N}$ von r-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte $X_{i}=(x_{1,i},\ldots ,x_{r,i})$ ist $\lim _{i\to \infty }\bigoplus _{s=1}^{r}\gamma ^{l_{s}}(x_{s,i})=\gamma ^{l_{1}+\ldots +l_{r}}(x)$.

Man beachte, dass die $\gamma ^{p}$ durch $\gamma$ eindeutig bestimmt sind. Falls $\gamma \colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{n}$ beliebig oft differenzierbar ist, dann ist $\gamma ^{p}(x)$ der von $\gamma (x),\gamma ^{\prime }(x),\gamma ^{\prime \prime }(x),\ldots ,\gamma ^{(p-1)}(x)$ aufgespannte Unterraum, der Begriff stimmt also mit dem in der Differentialgeometrie gebräuchlichen Begriff einer Frenet-Kurve überein.

Hitchin-Komponente

Die Hitchin-Komponente ist eine Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät einer Flächengruppe $\pi _{1}S$ in $PSL(n,\mathbb {R} )$, siehe Höhere Teichmüller-Theorie, die von Hitchin ursprünglich mit Hilfe von Higgs-Bündeln beschrieben wurde. Einer geometrischen Untersuchung zugänglich wird die Hitchin-Komponente durch folgenden Satz von Labourie:

Wenn eine Darstellung $\rho :\pi _{1}S\rightarrow PSL(n,\mathbb {R} )$ einer Flächengruppe zur Hitchin-Komponente gehört, dann gibt es eine hyperkonvexe Frenet-Kurve

$\gamma :S^{1}=\partial _{\infty }\pi _{1}S\rightarrow P(\mathbb {R} ^{n})$,

die $\rho$-äquivariant bzgl. der kanonischen Wirkung von $\pi _{1}S$ auf ihrem Rand im Unendlichen $\partial _{\infty }\pi _{1}S=S^{1}$ und von $PSL(n,\mathbb {R} )$ auf $P(\mathbb {R} ^{n})$ ist. Man kann zeigen, dass jede äquivariante hyperkonvexe Kurve eine Frenet-Kurve ist. (Labourie)

Darstellungen, für die eine äquivariante hyperkonvexe Kurve existiert, werden als hyperkonvexe Darstellungen bezeichnet.

Es gilt auch die Umkehrung: Wenn eine Darstellung hyperkonvex ist, dann gehört sie zur Hitchin-Komponente. (Guichard)

Literatur

• François Labourie: Anosov flows, surface groups and curves in projective space. Invent. Math. 165 (2006), no. 1, 51–114. pdf
• Olivier Guichard: Composantes de Hitchin et représentations hyperconvexes de groupes de surface. J. Differential Geom. 80 (2008), no. 3, 391–431 pdf