Kazhdan-Lusztig-Polynom

Kazhdan-Lusztig-Polynome sind ein Konzept aus der Theorie der Coxeter-Systeme, das (angewandt auf Weyl-Gruppen halbeinfacher Lie-Gruppen) zahlreiche Anwendungen in der Darstellungstheorie hat. Je zwei Elementen $y,w$ aus der Coxeter-Gruppe wird ein Polynom $P_{yw}(q)$ zugeordnet.

Definition

Sei $(W,S)$ ein Coxeter-System mit Längenfunktion $l$ und Bruhat-Ordnung $\leq$, und sei ${\mathcal {L}}=\mathbb {Z} \left[v,v^{-1}\right]$ der Ring der Laurent-Polynome. Die Iwahori-Hecke-Algebra ${\mathcal {H}}$ ist eine assoziative ${\mathcal {L}}$-Algebra mit Erzeugern $H_{s},s\in S$ und gewissen Relationen. Es gibt auf ${\mathcal {H}}$ eine eindeutige Involution $H\to {\overline {H}}$ mit ${\overline {v}}=v^{-1}$ und ${\overline {H_{s}}}=(H_{s^{-1}})^{-1}$ für $s\in S$.

Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass es zu jedem $x\in W$ ein eindeutiges, bzgl. der Involution selbstduales ${\underline {H}}_{x}\in {\mathcal {H}}$ mit

${\underline {H}}_{x}\in H_{x}+\sum _{y\in Y}v\mathbb {Z} \left[v\right]H_{y}$

gibt.

Insbesondere kann man Elemente $P_{yw}$ für $y\leq w$ als Koeffizienten

${\underline {H}}_{w}=v^{-l(w)}\sum _{y\leq w}P_{yw}H_{y}$

definieren. Falls $y\leq w$ nicht erfüllt ist, definiert man $P_{yw}=0$.

Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass die $P_{yw}$ Polynome sind. Sie werden heute als Kazhdan-Lusztig-Polynome bezeichnet.

Die ${\underline {H}}_{w}$ bilden eine neue Basis der Iwahori-Hecke-Algebra, die als Kazhdan-Lusztig-Basis bezeichnet wird. Die Kazhdan-Lusztig-Polynome beschreiben also die Transformation zwischen den Basen $H_{y}$ und ${\underline {H}}_{w}$. Kazhdan und Lusztig gaben eine rekursive Prozedur zur Berechnung der Polynome.

Interpretation durch Schnittkohomologie

Sei nun $W$ die Weyl-Gruppe einer halbeinfachen Lie-Gruppe $G$.

Eine Fahnenmannigfaltigkeit $G/B$ zerlegt sich in verschiedene Schubert-Zellen $\Omega _{w}$, die durch die Elemente $w\in W$ der Weyl-Gruppe indiziert werden.

Für die Schnittkohomologie von Schubert-Zellen $\Omega _{v}$ gilt

$P_{uv}(q)=\sum _{i\geq 0}q^{i}\dim(IH^{2i}({\overline {\Omega _{v}}},\mathbb {C} )_{\Omega _{u}})$.

Insbesondere sind die Koeffizienten von $P_{uv}$ nichtnegativ.

Literatur

• Kapitel 7 in: James Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 29. Cambridge: Cambridge University Press (1992).
• David Kazhdan, George Lusztig: Representations of Coxeter groups and Hecke algebras. Invent. Math. 53, 165–184 (1979).
• D. Kazhdan, G. Lusztig: Schubert varieties and Poincaré duality. Geometry of the Laplace operator, Honolulu/Hawaii 1979, Proc. Symp. Pure Math., Vol. 36, 185–203 (1980).

Weblinks

• Q. Chu: Hecke Algebras and the Kazhdan-Lusztig Polynomials
• W. Soergel: Kazhdan-Lusztig-Polynome und eine Kombinatorik für Kippmoduln
• N. Libedinsky: Gentle introduction to Soergel bimodules