Kazhdan-Lusztig-Polynome sind ein Konzept aus der Theorie der Coxeter-Systeme, das (angewandt auf Weyl-Gruppen halbeinfacher Lie-Gruppen) zahlreiche Anwendungen in der Darstellungstheorie hat. Je zwei Elementen aus der Coxeter-Gruppe wird ein Polynom zugeordnet.

Definition

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Sei   ein Coxeter-System mit Längenfunktion   und Bruhat-Ordnung  , und sei   der Ring der Laurent-Polynome. Die Iwahori-Hecke-Algebra   ist eine assoziative  -Algebra mit Erzeugern   und gewissen Relationen. Es gibt auf   eine eindeutige Involution   mit   und   für  .

Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass es zu jedem   ein eindeutiges, bzgl. der Involution selbstduales   mit

 

gibt.[1]

Insbesondere kann man Elemente   für   als Koeffizienten

 

definieren. Falls   nicht erfüllt ist, definiert man  .

Kazhdan und Lusztig bewiesen, dass die   Polynome sind. Sie werden heute als Kazhdan-Lusztig-Polynome bezeichnet.

Die   bilden eine neue Basis der Iwahori-Hecke-Algebra, die als Kazhdan-Lusztig-Basis bezeichnet wird. Die Kazhdan-Lusztig-Polynome beschreiben also die Transformation zwischen den Basen   und  . Kazhdan und Lusztig gaben eine rekursive Prozedur zur Berechnung der Polynome.

Interpretation durch Schnittkohomologie

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Sei nun   die Weyl-Gruppe einer halbeinfachen Lie-Gruppe  .

Eine Fahnenmannigfaltigkeit   zerlegt sich in verschiedene Schubert-Zellen  , die durch die Elemente   der Weyl-Gruppe indiziert werden.

Für die Schnittkohomologie von Schubert-Zellen   gilt

 .

Insbesondere sind die Koeffizienten von   nichtnegativ.

Literatur

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  • Kapitel 7 in: James Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 29. Cambridge: Cambridge University Press (1992).
  • David Kazhdan, George Lusztig: Representations of Coxeter groups and Hecke algebras. Invent. Math. 53, 165–184 (1979).
  • D. Kazhdan, G. Lusztig: Schubert varieties and Poincaré duality. Geometry of the Laplace operator, Honolulu/Hawaii 1979, Proc. Symp. Pure Math., Vol. 36, 185–203 (1980).
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Einzelnachweise

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  1. Soergel, op. cit., Theorem 2.1