Klassischer Wiener-Raum

Der klassische Wiener-Raum bezeichnet in der Stochastik den Raum, auf dem Norbert Wiener sein Wiener-Maß im Jahre 1923 konstruiert hat. Wiener selbst nannte diesen Raum Differentialraum (englisch Differential-Space). Er konstruierte das Wiener-Maß als ein Gaußsches Maß auf einer unendlichdimensionalen Sphäre im Funktionenraum der stetigen Funktionen auf dem Interval $[0,1]$.

Den Wiener-Raum nennt man klassisch zur Unterscheidung zwischen dem von Wiener betrachteten Raum und der von Leonard Gross verallgemeinerten Konstruktion des abstrakten Wiener-Raumes.

Der klassische Wiener-Raum

Die Wiener-Sphäre

Wiener betrachtete Differentiale ${\dot {B}}_{t}=dB_{t}/dt$ eines Pfades der brownschen Bewegung. Dass die brownsche Bewegung eigentlich nirgends-differenzierbar ist (außer im distributionalen Sinne), bewies er erst rund 10 Jahre später. Informell berechnete er die $L^{2}[0,1]$-Norm von ${\dot {B}}_{t}$ unter Verwendung der Eigenschaft $dB_{t}^{2}=dt$

$\|{\dot {B}}_{t}\|^{2}=\int _{0}^{1}{\dot {B}}_{t}^{2}\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}(1/\mathrm {d} t)\mathrm {d} t=(1/\mathrm {d} t)=\infty$

und somit $\|{\dot {B}}_{t}\|={\sqrt {\infty }}=\infty$.

Inspiriert durch Diskussionen mit Paul Lévy sah Wiener ${\dot {B}}_{t}$ auf der unendlichdimensionalen Sphäre $S^{\infty }({\sqrt {\infty }})$ mit Radius $\infty$ und interpretierte die Normalverteilung als die Gleichverteilung auf der Sphäre. Diese Vorstellung geht zurück auf Henri Poincaré. Poincaré bemerkte, dass wenn ein Zufallsvektor $x=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}$ der Gleichverteilung auf $S^{n-1}({\sqrt {n}})$ oder äquivalent unter Skalierung auf $S^{n-1}(1)$ folgt, dann gilt für den Grenzwert $m$ fixierter Punkte in der unendlichdimensionalen Sphäre

$\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\bigcap \limits _{i=1}^{m}x_{i}\in [a_{i},b_{i}]\right)=\int _{a_{1}}^{b_{1}}{\frac {e^{-{\tfrac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {d} x\cdots \int _{a_{m}}^{b_{m}}{\frac {e^{-{\tfrac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {d} x.$

Sei nun $\omega :[0,\infty )\to \mathbb {R}$ ein Beispielpfad der eindimensionalen Standard-Brownschen-Bewegung und $e_{1},e_{2},\dots$ eine Orthonormalbasis von $L^{2}[0,\infty )$, dann induziert die Abbildung

$\omega (t)\to (\omega _{1},\omega _{2},\dots )$

definiert durch

$\omega _{n}=\int _{0}^{\infty }e_{n}(t)\mathrm {d} \omega (t)$

einen Isomorphismus zwischen der brownschen Bewegung und dem Raum $\mathbb {R} ^{\infty }$ mit der Grenzwert-Verteilung von Poincaré

$\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\bigcap \limits _{i=1}^{m}\omega (t)\in [a_{i},b_{i}]\right)=\int _{a_{1}}^{b_{1}}{\frac {e^{-{\tfrac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {d} x\cdots \int _{a_{m}}^{b_{m}}{\frac {e^{-{\tfrac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {d} x.$

Herleitung des Wiener-Raumes

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Es gibt unterschiedliche Wege einen stochastischen Prozess zu sehen. Die klassische Interpretation ist, dass ein stochastischer Prozess eine Familie von Zufallsvariablen mit der Index-Menge $T$ ist, induziert durch $\{X_{t}\colon \Omega \to Z,\;t\in T\}.$ Ein stochastischer Prozess ist aber auch eine Familie von Zufallsfunktionen (englisch random functions) für jedes $\omega \in \Omega$ induziert durch

$\omega \mapsto \{t\mapsto X_{t}(\omega )\}.$

Die Zufallsfunktionen sind Punkte im Funktionenraum ${\mathcal {F}}(T,E)$ aller Funktionen von $T$ nach $E$. Es ist bekannt, dass man den Raum ${\mathcal {F}}(T,E)$ mit dem Produktraum $E^{T}$ identifizieren kann und wir betrachten somit eine Abbildung $\Omega \to E^{T}.$ Möchten wir nun einen $d$-dimensionalen reellen Prozess definieren und wählen $E^{T}:=(\mathbb {R} ^{d})^{[0,\infty )}$, so werden wir in Probleme der Messbarkeit laufen. Deshalb definieren wir die Koordinaten-Abbildungen $Y_{t}:E^{T}\to E$ durch

$y\mapsto y_{t}(\omega )=\omega (t)$

welche einen stochastischen Prozess $(Y_{t})$ bilden und definieren deren kleinste σ-Algebra ${\mathcal {E}}^{T}=\sigma (Y_{t}:t\geq 0)$. Die Zufallsvariable $Y_{t}$ nennt man auch kanonische Version von $X_{t}$ oder Koordinaten-Funktional (). Weiter existiert eine Abbildung $\varphi$ definiert durch

$Y_{t}(\varphi (\omega ))=\varphi (\omega )(t)=X_{t}(\omega ).$

Ein stochastischer Prozess ist somit genau dann ein stochastischer Prozess, wenn er ${\mathcal {E}}^{T}$-messbar ist.

Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $E^{T}$ können wir nun eine Familie von endlichdimensionalen Verteilungen für $t=(t_{1},\dots ,t_{n})\in T$ durch

$Q_{t}(A)=P[\omega \in E^{T}:(\omega (t_{1}),\dots ,\omega (t_{n}))\in A],\quad A\in {\mathcal {B}}(E^{n})$

definieren, wobei die Menge

$\{\omega \in E^{T}:(\omega (t_{1}),\dots ,\omega (t_{n}))\in A\}$

Zylindermenge genannt wird und ${\mathcal {B}}(E^{n})$ die kleinste σ-Algebra aller Zylindermengen in $E^{T}$ bezeichnet. Umgekehrt gilt nach dem Erweiterungssatz von Daniell-Kolmogorov, dass für jede konsistente Familie $\{Q_{t}\}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ existiert, so dass

$Q_{t}(A)=P[\omega \in E^{T}:(\omega (t_{1}),\dots ,\omega (t_{n}))\in A]$

gilt. Dies führt zur Konstruktion des Wiener-Maßes der brownschen Bewegung.

Satz von Wiener

Es existiert ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu _{W}$ auf dem Raum der $d$-dimensionalen reellen Funktionen, die stetig auf $\mathbb {R} _{+}$ sind und Null auf Null abbilden,

$C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ):=\{\omega :\omega {\text{ ist stetig auf }}\mathbb {R} _{+},\omega (0)=0\},$

so dass der Koordinaten-Prozess die brownsche Bewegung ist. Dieses Maß nennt man Wiener-Maß.

$C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )$ heißt klassischer Wiener-Raum. In der Literatur wird auch das Tripel selbst $(C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ),{\mathcal {B}}(C_{0}),\mu _{W})$ als klassischer Wiener-Raum bezeichnet, wobei ${\mathcal {B}}(C_{0})$ die kleinste σ-Algebra der Koordinaten-Abbildungen ist und mit der borelschen σ-Algebra übereinstimmt.

Erläuterungen zur σ-Algebra

Sei $Y_{t}:C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$. Dann gilt ${\mathcal {B}}(C_{0})=C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )\cap {\mathcal {B}}^{[0,\infty )}(\mathbb {R} )=\sigma \left(Y_{t}:t\in [0,\infty )\right)$, wobei hier mit ${\mathcal {B}}$ die Borelsche σ-Algebra notiert ist.

Eigenschaften

Der klassische Wiener-Raum für $T=[0,1]$ mit der Supremumsnorm

$\|\omega \|_{\infty }=\sup _{t\in T}|\omega (t)|$

ist ein separabler Banach-Raum, da $T$ kompakt und die Funktionen stetig sind. Für $T=\mathbb {R} _{+}$ benötigt man zusätzlich die Bedingung $\lim \limits _{t\to \infty }t^{-1}|\omega (t)|=0$, damit man einen Banach-Raum unter Supremumsnorm erhält.

Literatur

• Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999 (englisch, Kapitel 1 und 3). 
• Hui-Hsiung Kuo: Gaussian Measures in Banach Spaces. 1975. 

Über die Wiener-Sphäre

• H. P. McKean: Geometry of Differential Space. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 1, Nr. 2, 1973, S. 197–206, doi:10.1214/aop/1176996973 (projecteuclid.org). 
• Nigel Cutland und Siu-Ah Ng: The Wiener Sphere and Wiener Measure. In: Annals of Probability. Band 21, Nr. 1, Januar 1993, S. 1 - 13, doi:10.1214/aop/1176989390. 
• Nigel J. Cutland: Brownian motion on the Wiener sphere and the infinite–dimensional Ornstein–Uhlenbeck process. In: Stochastic Processes and their Applications. Band 79, Nr. 1, 1999, S. 95–107, doi:10.1016/S0304-4149(98)00072-6 (sciencedirect.com). 
• Nigel J. Cutland: 3. Stochastic Calculus of Variations. In: Loeb Measures in Practice: Recent Advances. In: Springer (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics. Band 1751. Berlin, Heidelberg 2000, doi:10.1007/978-3-540-44531-9_3. 

Allgemein historisches zu Wieners Konstruktion

• Arthur Genthon: The concept of velocity in the history of Brownian motion: From physics to mathematics and back. arxiv:2006.05399 (Geschichte zur Wieners Konstruktion).