Lemma von Whitehead

Das Lemma von Whitehead, benannt nach John Henry Constantine Whitehead, ist eine Aussage aus dem mathematischen Gebiet der Ringtheorie. Das Lemma beschreibt die Kommutatorgruppe der linearen Gruppe über einem Ring mit Einselement.

Die lineare Gruppe

Es sei $R$ ein Ring mit Einselement. Dann ist auch der Matrizenring, das heißt die Menge $M_{n}(R)$ der $n\times n$-Matrizen mit Komponenten aus $R$, ein Ring mit Einselement. Darin sei $GL(n,R)$ die Gruppe der invertierbaren Elemente, die sogenannte allgemeine lineare Gruppe $n$-ten Grades. Die Abbildung

$GL(n,R)\rightarrow GL(n+1,R),\,{\begin{pmatrix}a_{1,1}&\ldots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\ldots &a_{n,n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\ldots &a_{1,n}&0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n,1}&\ldots &a_{n,n}&0\\0&\ldots &0&1\end{pmatrix}}$

ist offenbar ein injektiver Gruppenhomomorphismus, mit dem man $GL(n,R)$ als Untergruppe von $GL(n+1,R)$ auffassen kann. Die Vereinigung $\textstyle GL(R):=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }GL(n,R)$ heißt lineare Gruppe, manchmal auch stabile lineare Gruppe, nach Konstruktion handelt es sich um die Gruppe aller invertierbaren $\infty \times \infty$-Matrizen, die bis auf endliche viele Ausnahmen mit der unendlichen Einheitsmatrix übereinstimmen.

In jeder Gruppe $GL(n,R)$ sind die Elementarmatrizen vom Typ 1 enthalten, sie erzeugen eine Untergruppe $E(n,R)$ und vermöge obigen Homomorphismus kann man $E(n,R)$ als Untergruppe von $E(n+1,R)$ auffassen und wieder die Vereinigung $\textstyle E(R)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E(n,R)$ bilden. Offenbar ist $E(R)\subset GL(R)$ eine Untergruppe.

Aussage des Lemmas von Whitehead

Es sei $R$ ein Ring mit Einselement. Dann ist $E(R)=[GL(R),GL(R)]$, das heißt $E(R)$ ist die Kommutatorgruppe von $GL(R)$. Darüber hinaus ist $E(R)=[E(R),E(R)]$, das heißt $E(R)$ ist eine perfekte Gruppe.

Bemerkungen

$E(R)$ ist als Kommutatorgruppe ein Normalteiler in $GL(R)$, das heißt man kann die Faktorgruppe $GL(R)/E(R)$ bilden. Diese hat eine große Bedeutung in der algebraischen K-Theorie und wird dort mit $K_{1}(R)$ bezeichnet. Da $K_{1}(R)=GL(R)/E(R)=GL(R)/[GL(R),GL(R)]$, ist $K_{1}(R)$ die Abelisierung von $GL(R)$, insbesondere handelt es sich um eine abelsche Gruppe.

Ist $R$ ein Körper, so hat man bekanntlich eine Determinanten-Abbildung $\det :GL(R)\rightarrow R^{*}=R\setminus \{0\}$ in die Gruppe der invertierbaren Elemente des Körpers. Man kann zeigen, dass $E(R)$ genau der Kern der Determinantenabbildung ist und die Determinantenabbildung daher einen Isomorphismus $K_{1}(R)=GL(R)/E(R)\rightarrow R^{*}$ induziert.

Der einfachste Körper ist der Restklassenkörper $R=\mathbb {Z} /2=\{0,1\}$ und nach obigem ist $GL(\mathbb {Z} /2)/E(\mathbb {Z} /2)\cong (\mathbb {Z} /2)^{*}=\{1\}$ einelementig und daher $GL(\mathbb {Z} /2)=E(\mathbb {Z} /2)$. Es ist

$GL(2,\mathbb {Z} /2)=\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}\}$

eine sechselementige, nicht-kommutative Gruppe, die daher zur S₃ isomorph sein muss. Deren Kommutatorgruppe ist dreielementig, genauer

$[GL(2,\mathbb {Z} /2),GL(2,\mathbb {Z} /2)]=\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}\}$,

aber $GL(2,\mathbb {Z} /2)$ wird von den Elementarmatrizen erzeugt, das heißt für den Grad 2 gilt $E(2,\mathbb {Z} /2)\neq [GL(2,\mathbb {Z} /2),GL(2,\mathbb {Z} /2)]$. Dieses Beispiel zeigt, dass das Lemma von Whitehead für endliche Dimensionen nicht gilt. Man kann also nicht auf den Übergang zu unendlich-dimensionalen Matrizen verzichten.