Lemma von Whitehead

Aussage aus dem mathematischen Gebiet der Ringtheorie

Das Lemma von Whitehead, benannt nach John Henry Constantine Whitehead, ist eine Aussage aus dem mathematischen Gebiet der Ringtheorie. Das Lemma beschreibt die Kommutatorgruppe der linearen Gruppe über einem Ring mit Einselement.

Die lineare Gruppe

Bearbeiten

Es sei   ein Ring mit Einselement. Dann ist auch der Matrizenring, das heißt die Menge   der  -Matrizen mit Komponenten aus  , ein Ring mit Einselement. Darin sei   die Gruppe der invertierbaren Elemente, die sogenannte allgemeine lineare Gruppe  -ten Grades. Die Abbildung

 

ist offenbar ein injektiver Gruppenhomomorphismus, mit dem man   als Untergruppe von   auffassen kann. Die Vereinigung   heißt lineare Gruppe, manchmal auch stabile lineare Gruppe, nach Konstruktion handelt es sich um die Gruppe aller invertierbaren  -Matrizen, die bis auf endliche viele Ausnahmen mit der unendlichen Einheitsmatrix übereinstimmen.

In jeder Gruppe   sind die Elementarmatrizen vom Typ 1 enthalten, sie erzeugen eine Untergruppe   und vermöge obigen Homomorphismus kann man   als Untergruppe von   auffassen und wieder die Vereinigung   bilden. Offenbar ist   eine Untergruppe.

Aussage des Lemmas von Whitehead

Bearbeiten

Es sei   ein Ring mit Einselement. Dann ist  , das heißt   ist die Kommutatorgruppe von  . Darüber hinaus ist  , das heißt   ist eine perfekte Gruppe.[1][2]

Bemerkungen

Bearbeiten

  ist als Kommutatorgruppe ein Normalteiler in  , das heißt man kann die Faktorgruppe   bilden. Diese hat eine große Bedeutung in der algebraischen K-Theorie und wird dort mit   bezeichnet. Da  , ist   die Abelisierung von  , insbesondere handelt es sich um eine abelsche Gruppe.

Ist   ein Körper, so hat man bekanntlich eine Determinanten-Abbildung   in die Gruppe der invertierbaren Elemente des Körpers. Man kann zeigen, dass   genau der Kern der Determinantenabbildung ist und die Determinantenabbildung daher einen Isomorphismus   induziert.[3]

Der einfachste Körper ist der Restklassenkörper   und nach obigem ist   einelementig und daher  . Es ist

 

eine sechselementige, nicht-kommutative Gruppe, die daher zur S3 isomorph sein muss. Deren Kommutatorgruppe ist dreielementig, genauer

 ,

aber   wird von den Elementarmatrizen erzeugt, das heißt für den Grad 2 gilt  . Dieses Beispiel zeigt, dass das Lemma von Whitehead für endliche Dimensionen nicht gilt. Man kann also nicht auf den Übergang zu unendlich-dimensionalen Matrizen verzichten.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Jonathan Rosenberg: Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag 1994, ISBN 3-540-94248-3, Satz 2.1.4
  2. John Milnor: Introduction to algebraic K -theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton University Press, 1971. Abschnitt 3.1
  3. Jonathan Rosenberg: Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag 1994, ISBN 3-540-94248-3, Satz 2.2.2