Maurer-Cartan-Form

Differentialform auf Lie-Gruppen

Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan.

Definition

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Sei   eine Lie-Gruppe,   ihre Lie-Algebra. Für   induziert die Links-Multiplikation

 
 

das Differential

 .

Die Maurer-Cartan-Form   ist definiert durch

 

für  .[1]

Maurer-Cartan-Gleichung

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Die Maurer-Cartan-Form erfüllt die Gleichung

 .

Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch

 

und die äußere Ableitung   durch

 

definiert.

Einzelnachweise

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  1. Jeffrey M. Lee: Manifolds and differential geometry. American Mathematical Society, Providence, R.I. 2009, ISBN 0-8218-4815-1, Chapter: 5.6 The Maurer Cartan Form.