Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff

mathematischer Satz der Funktionalanalysis

Das Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff (englisch Kolmogorov’s normability criterion) ist ein Lehrsatz der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Es geht zurück auf eine Arbeit des russischen Mathematikers Andrej Kolmogoroff aus dem Jahr 1934.

Kriterium

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Das Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff besagt:

Die Topologie   eines hausdorffschen topologischen Vektorraums   wird genau dann durch eine Norm erzeugt, wenn dessen Nullvektor eine Umgebung besitzt, welche eine zugleich beschränkte und konvexe Teilmenge von   ist.

Ist die genannte Bedingung erfüllt, so ist   ein normierbarer Raum.

Anwendungsbeispiel

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Obige Charakterisierung normierbarer Räume kann verwendet werden, um festzustellen, dass ein Raum nicht normierbar ist:

Der Folgenraum

 

aller  -Folgen (  oder  ), versehen mit der Produkttopologie, ist ein unendlich-dimensionaler vollständig metrisierbarer topologischer Vektorraum, in welchem die Nullfolge   keine beschränkte Umgebung besitzt. Daher ist   nicht normierbar.

Historisches

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Walter Rudin verweist in seiner Functional Analysis (2. Auflage, S. 400) darauf, dass das Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff möglicherweise den ersten Lehrsatz der Theorie der lokalkonvexen Räume darstellt.

Literatur

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  • A. Kolmogoroff: Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes. In: Studia Mathematica. Band 5, 1934, S. 29–33 (matwbn.icm.edu.pl [PDF]).
  • Sterling K. Berberian: Lectures in Functional Analysis and Operator Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 15). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1974, ISBN 0-387-90080-2, S. 55–56, 106–108 (MR0417727).
  • Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 30, 400 (MR1157815).
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 437.