Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral bezeichnet, dessen Integrand von einem Parameter abhängt. Ein wichtiges Beispiel ist die eulersche Darstellung der Gammafunktion . Der Wert eines solchen Integrals ist dann eine Funktion des Parameters und es stellt sich beispielsweise die Frage, ob diese Funktion stetig oder differenzierbar ist.
Es seien
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
(
Ω
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}
(
E
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}
Banachraum und
f
:
X
×
Ω
→
E
{\displaystyle f\colon X\times \Omega \to E}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
ω
↦
f
(
x
,
ω
)
{\displaystyle \omega \mapsto f(x,\omega )}
Ω
{\displaystyle \Omega }
μ
{\displaystyle \mu }
F
:
X
→
E
{\displaystyle F\colon X\to E}
F
(
x
)
=
∫
Ω
f
(
x
,
ω
)
μ
(
d
ω
)
{\displaystyle F(x)=\int _{\Omega }f(x,\omega )\,\mu (\mathrm {d} \omega )}
Parameterintegral mit dem Parameter
x
{\displaystyle x}
Die Gammafunktion
Γ
:
(
0
,
∞
)
→
R
{\displaystyle \Gamma :(0,\infty )\to \mathbb {R} }
Γ
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}
Betrachte den Maßraum
(
R
,
B
(
R
)
,
μ
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu )}
f
∈
L
1
(
R
,
B
(
R
)
,
μ
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}_{1}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu )}
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
d
μ
=
∫
R
1
[
a
,
x
]
f
d
μ
,
a
∈
R
,
x
≥
a
{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\mathbb {R} }1_{[a,x]}f\,\mathrm {d} \mu ,\quad a\in \mathbb {R} ,\quad x\geq a}
ein Parameterintegral. Aus dem Satz der majorisierten Konvergenz folgt, dass
F
{\displaystyle F}
x
↦
1
[
0
,
x
]
{\displaystyle x\mapsto 1_{[0,x]}}
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Lebesgue-integrale ist
F
{\displaystyle F}
absolut stetig . Im Allgemeinen existiert allerdings kein
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
F
{\displaystyle F}
f
∈
L
1
(
R
,
B
(
R
)
,
μ
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}_{1}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu )}
α
{\displaystyle \alpha }
Hölder stetig ist (was eine stärkere Stetigkeitseigenschaft wäre). Dafür betrachte man z. B. den Fall
μ
=
λ
{\displaystyle \mu =\lambda }
numerischen ) Funktionen mit
p
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle p\in (0,1)}
f
p
(
x
)
=
{
x
p
−
1
für
x
>
0
∞
für
x
=
0
{\displaystyle f_{p}(x)={\begin{cases}x^{p-1}&{\text{für }}x>0\\\infty &{\text{für }}x=0\end{cases}}}
Diese Funktionen sind messbar, da sie auf
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty )}
f
p
−
1
(
{
∞
}
)
=
{
0
}
∈
B
(
R
)
{\displaystyle f_{p}^{-1}(\{\infty \})=\{0\}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}
[
0
,
x
]
{\displaystyle [0,x]}
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
F
p
(
x
)
=
∫
0
x
f
p
d
λ
=
1
p
x
p
{\displaystyle F_{p}(x)=\int _{0}^{x}f_{p}\,\mathrm {d} \lambda ={\frac {1}{p}}x^{p}}
Im Punkt
x
=
0
{\displaystyle x=0}
F
p
{\displaystyle F_{p}}
α
{\displaystyle \alpha }
α
≤
p
{\displaystyle \alpha \leq p}
p
{\displaystyle p}
α
{\displaystyle \alpha }
Sei
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
(
Ω
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}
(
E
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}
f
:
X
×
Ω
→
E
{\displaystyle f\colon X\times \Omega \to E}
f
(
x
,
⋅
)
∈
L
1
(
Ω
,
μ
,
E
)
{\displaystyle f(x,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
(
⋅
,
ω
)
∈
C
(
X
,
E
)
{\displaystyle f(\cdot ,\omega )\in C(X,E)}
μ
{\displaystyle \mu }
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
Es gibt ein
g
∈
L
1
(
Ω
,
A
,
μ
;
R
+
)
{\displaystyle g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;\mathbb {R} _{+})}
‖
f
(
x
,
ω
)
‖
⩽
g
(
ω
)
{\displaystyle \Vert f(x,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )}
(
x
,
ω
)
∈
X
×
Ω
{\displaystyle (x,\omega )\in X\times \Omega }
Dann ist
F
:
X
→
E
,
x
↦
∫
Ω
f
(
x
,
ω
)
μ
(
d
ω
)
{\displaystyle F\colon X\to E,\ x\mapsto \int _{\Omega }f(x,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )}
wohldefiniert und stetig.
Differenzierbarkeit von Parameterintegralen
Bearbeiten
Sei
U
⊂
R
d
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}
(
Ω
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}
(
E
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}
f
:
U
×
Ω
→
E
{\displaystyle f\colon U\times \Omega \to E}
f
(
u
,
⋅
)
∈
L
1
(
Ω
,
μ
,
E
)
{\displaystyle f(u,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
f
(
⋅
,
ω
)
∈
C
1
(
U
,
E
)
{\displaystyle f(\cdot ,\omega )\in C^{1}(U,E)}
μ
{\displaystyle \mu }
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
Es gibt ein
g
∈
L
1
(
Ω
,
A
,
μ
;
R
+
)
{\displaystyle g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;\mathbb {R} _{+})}
‖
∂
u
f
(
u
,
ω
)
‖
⩽
g
(
ω
)
{\displaystyle \Vert \partial _{u}f(u,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )}
(
u
,
ω
)
∈
U
×
Ω
{\displaystyle (u,\omega )\in U\times \Omega }
Dann ist
F
:
U
→
E
,
u
↦
∫
Ω
f
(
u
,
ω
)
μ
(
d
ω
)
{\displaystyle F\colon U\to E,\ u\mapsto \int _{\Omega }f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )}
stetig differenzierbar mit
∂
j
F
(
u
)
=
∫
Ω
∂
∂
u
j
f
(
u
,
ω
)
μ
(
d
ω
)
,
u
∈
U
,
1
⩽
j
⩽
d
.
{\displaystyle \partial _{j}F(u)=\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial u^{j}}}f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega ),\quad u\in U,\quad 1\leqslant j\leqslant d.}
Unter geeigneten Voraussetzungen können also Differentiation nach einem Parameter und Integration vertauscht werden.
![{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\mathbb {R} }1_{[a,x]}f\,\mathrm {d} \mu ,\quad a\in \mathbb {R} ,\quad x\geq a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b4cb9bbead56b4719c2e55afcaab5205e234f8)
![{\displaystyle x\mapsto 1_{[0,x]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a94998b16d48e05741dbae963d23a3866f346f0)
![{\displaystyle [0,x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725684c883c7ef386e8a0fe4d111e72c565747ed)
