Pentagonhexakontaeder

Das Pentagonhexakontaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 60 Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum abgeschrägten Dodekaeder und hat 92 Ecken sowie 150 Kanten.

3D-Ansicht eines Pentagonhexakontaeders (Animation)

Drahtgittermodell eines Pentagonhexakontaeders

Netz des Pentagonhexakontaeders

Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonhexakontaeder.

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  Spiegelvariante 1
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  Spiegelvariante 2

Entstehung

Konstruktion des Tangentenfünfecks am abgeschrägten Dodekaeder

Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonhexakontaeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 153°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Nachfolgend bezeichne der Term $t$ den Kosinus des kleineren Zentriwinkels $\zeta$ im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck; $\Phi$ sei die Goldene Zahl.

$t$ ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung $8t^{3}+8t^{2}-\Phi ^{2}=0$.

$t=\cos \,\zeta ={\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9+{\sqrt {81\Phi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9-{\sqrt {81\Phi -15}})}}-4\right)\approx 0{,}47157563$

Sei $d$ die Kantenlänge des abgeschrägten Dodekaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch

$a={\frac {d\,(1+2t)}{2\,(1-2t^{2}){\sqrt {2+2t}}}}$

$b={\frac {d}{\sqrt {2+2t}}}$.

Damit stehen die beiden Seitenlängen im folgenden Verhältnis zueinander:

$2a\left(1-2t^{2}\right)=b\left(1+2t\right)$

Verwandte Polyeder

• 
  Dualer Körper: Abgeschrägtes Dodekaeder
• 
  Einbeschriebenes Dodekaeder
• 
  Einbeschriebenes Ikosaeder

Formeln

Für das Polyeder

Größen eines Pentagonhexakontaeders mit Kantenlänge a bzw. b
Volumen  ≈ 35,42a3 ≈ 189,84b3	$V={\frac {40a^{3}(1+t)(2+3t)(1-2t^{2})^{2}}{(1+2t)^{3}{\sqrt {1-2t}}}}={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}$
Oberflächeninhalt  ≈ 53,14a2 ≈ 162,73b2	$A_{O}={\frac {120a^{2}(2+3t)(1-2t^{2})}{(1+2t)^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}={\frac {30b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}$
Kantenkugelradius	$r={\frac {a\,(1-2t^{2})}{1-4t^{2}}}{\sqrt {2\,(1+t)(1-2t)}}=b\,{\sqrt {\frac {1+t}{2\,(1-2t)}}}$
Inkugelradius	$\rho ={\frac {a\,(1-2t^{2})}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1+t}{(1-t)(1-2t)}}}={\frac {b}{2}}\,{\sqrt {\frac {1+t}{(1-t)(1-2t)}}}$
Flächenwinkel  ≈ 153° 10′ 43″	$\cos \,\alpha ={\frac {t}{t-1}}$
Sphärizität  ≈ 0,98163	$\Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{36\,\pi \,V^{2}}}{A_{O}}}$

Für die Begrenzungsflächen

Größen des Tangentenfünfecks
Flächeninhalt	$A={\frac {2a^{2}(2+3t)(1-2t^{2})}{(1+2t)^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}={\frac {b^{2}(2+3t)}{2\,(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}$
Inkreisradius	$r={\frac {a\,(1-2t^{2})}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}={\frac {b}{2}}\,{\sqrt {\frac {1+t}{1-t}}}$
Diagonale $\|\,b$	$e=2a\,(1-2t^{2})=b\,(1+2t)$
Stumpfe Winkel(4)  ≈ 118° 8′ 12″	$\cos \,\alpha =-t$
Spitzer Winkel (1)  ≈ 67° 27′ 13″	$\cos \,\beta =1-2\,(1-2t^{2})^{2}$

Anwendung

Größen in den Begrenzungsflächen des Pentagonhexakontaeders

In den USA ist ein Verfahren patentiert, bei dem 92 der insgesamt 332 Vertiefungen („dimples“) eines Golfballs auf den Gitterpunkten eines Pentagonhexakontaeders liegen.

Weblinks

Commons: Pentagonhexakontaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Pentagonhexakontaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Pentagonhexakontaeder. In: MathWorld (englisch).
• Lichtkunst in einem Pentagonhexakontaederkristall

Catalanische Körper

Triakistetraeder · Rhombendodekaeder · Tetrakishexaeder · Triakisoktaeder · Deltoidalikositetraeder · Pentagonikositetraeder · Rhombentriakontaeder · Hexakisoktaeder · Pentakisdodekaeder · Triakisikosaeder · Deltoidalhexakontaeder · Pentagonhexakontaeder · Hexakisikosaeder