Hilbertraum-Darstellung

(Weitergeleitet von Primitives Ideal)

Hilbertraum-Darstellungen sind eine wichtige mathematische Methode zur Untersuchung von Banach-*-Algebren, insbesondere C*-Algebren und Faltungsalgebren lokalkompakter Gruppen. Es handelt sich dabei um Darstellungen als Algebren von Operatoren auf Hilberträumen.

Gegenüber der allgemeinen in der Algebra betrachteten Darstellungstheorie liegen wegen der Hilbertraum-Struktur zusätzliche Strukturelemente vor. Da ist zunächst die Topologie des Hilbertraums, die auch auf dem Raum der stetigen linearen Operatoren eine Topologie erzeugt. Eine weitere wichtige Rolle spielt die Involution in der Algebra der stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum, die durch die Adjunktion gegeben ist.

Definitionen

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Ist   ein Hilbertraum, so ist die Algebra   der stetigen linearen Operatoren mit der Operatornorm eine C*-Algebra.

Ist   eine Banach-*-Algebra, so heißt jeder *-Homomorphismus   eine Darstellung von   auf  .

Jede Darstellung ist mit dieser Definition bereits eine Kontraktion bezüglich der Norm der Banach-*-Algebra und der Operatornorm auf   und somit stetig.[1]

Viele aus der algebraischen Darstellungstheorie bekannten Begriffsbildungen haben topologische Varianten, die im nächsten Abschnitt vorgestellt werden.

Weiterführende Begriffsbildungen

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Eine Hilbertraum-Darstellung   heißt zyklisch, wenn es einen Vektor   gibt, so dass   dicht liegt.

Ein Unterraum   heißt invariant (bzgl. der Darstellung  ), falls   für alle  . Ist   abgeschlossen, also selbst ein Hilbertraum, so ist   wieder eine Hilbertraum-Darstellung, sie heißt die zu   gehörige Teildarstellung. Da wir es hier mit *-Homomorphismen zu tun haben, ist das orthogonale Komplement   ebenfalls invariant. Daher ist jedes   die direkte Summe der Operatoren   und  . Dafür schreibt man kurz  , man spricht dann auch von einer direkten Summe von Teildarstellungen. Abgeschlossene invariante Unterräume erlauben also die Zerlegung der Darstellung in Darstellungen auf kleineren Räumen.

Die kleinsten „Bausteine“ von Hilbertraum-Darstellungen auf   sind solche, die keine abgeschlossenen invarianten Teilräume außer   und   haben. Derartige Darstellungen nennt man topologisch irreduzibel.

Die Nulldarstellung ist der Nullhomomorphismus  . Eine Darstellung heißt nicht-ausgeartet oder nicht-degeneriert, wenn es außer   keinen abgeschlossenen invarianten Unterraum gibt, so dass die Einschränkung darauf die Nulldarstellung ist. Jede Darstellung ist die direkte Summe aus zyklischen Teildarstellungen und einer Nulldarstellung. Eine nicht-degenerierte Darstellung ist demnach eine direkte Summe zyklischer Darstellungen und umgekehrt.

Zwei Darstellungen   und   heißen äquivalent, wenn es einen unitären Operator   gibt, so dass   für alle  . Zwischen äquivalenten Darstellungen besteht praktisch kein Unterschied, es sind lediglich die Bezeichnungen für die Hilbertraumvektoren (vermöge  ) ausgetauscht.

Es gibt sehr viele Darstellungen, zu jeder Kardinalzahl wenigstens eine, nämlich die Nulldarstellung auf einem Hilbertraum mit einer Basis dieser Kardinalität, und all diese Darstellungen sind paarweise nicht äquivalent. Man kann also nicht von der Menge der Äquivalenzklassen von Darstellungen sprechen. Bei irreduziblen Darstellungen, die in einem gewissen Sinne klein sind, ist das anders. Ist   eine C*-Algebra oder eine Gruppenalgebra, so bilden die Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen eine Menge, die man   schreibt und das Spektrum von   nennt.

Die Kerne irreduzibler Darstellungen sind Ideale, die man primitiv nennt. Es ist klar, dass äquivalente Darstellungen zum selben primitiven Ideal führen, die Umkehrung gilt nicht, wohl aber für postliminale C*-Algebren. Mit   wird der Raum der primitiven Ideale bezeichnet. Man hat dann eine surjektive Abbildung  . Weiter sind primitive Ideale Primideale. Daher trägt der Raum der primitiven Ideale die relative Zariski-Topologie. Die Initialtopologie bezüglich der Abbildung   ist dann die üblicherweise auf dem Spektrum von   betrachtete Topologie.

Sätze über Darstellungen

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GNS-Konstruktion

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Ein Zustand auf einer Banach-*-Algebra   mit durch 1 beschränkter Approximation der Eins   ist ein stetiges lineares Funktional   mit   und   für alle  . Zu einem solchen Zustand kann wie folgt eine Darstellung konstruiert werden: Zum Zustand   setze  . Dann definiert die Formel   ein Skalarprodukt auf dem Quotientenraum  . Die Vervollständigung bzgl. dieses Skalarproduktes ist ein Hilbertraum  . Für jedes   lässt sich die Abbildung   zu einem stetigen linearen Operator   auf   fortsetzen. Dann zeigt man, dass die so erklärte Abbildung   eine zyklische Darstellung ist mit   bzgl. der starken Operatortopologie. Diese Konstruktion von   aus   nennt man nach Gelfand, Neumark und Segal die GNS-Konstruktion (siehe auch Satz von Gelfand-Neumark),   heißt auch die GNS-Darstellung zum Zustand  .

Einhüllende C*-Algebra, einhüllende Von-Neumann-Algebra

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Sei   eine Banach-*-Algebra mit durch 1 beschränkter Approximation der Eins. Die direkte Summe aller GNS-Darstellungen  , wobei   die Menge aller Zustände durchläuft, heißt die universelle Darstellung   von  .

  ist eine nicht-degenerierte Darstellung auf dem Hilbertraum  . Im Falle von C*-Algebren und Gruppenalgebren ist die universelle Darstellung treu (das heißt injektiv). Der Abschluss von   bezüglich der Normtopologie heißt die einhüllende C*-Algebra von  . Der Abschluss von   bezüglich der schwachen Operatortopologie enthält den Operator   und heißt die einhüllende Von-Neumann-Algebra von  . Die einhüllende Von-Neumann-Algebra einer C*-Algebra kann mit ihrem Bidual, versehen mit dem Arens-Produkt, identifiziert werden.

Existenz irreduzibler Darstellungen, atomare Darstellung

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Es ist a priori nicht klar, ob es im Falle von C*-Algebren oder Gruppenalgebren   überhaupt irreduzible Darstellungen gibt. In der Tat ist es aber so, dass es zu jedem   eine irreduzible Darstellung   gibt mit  , wie man mittels der GNS-Konstruktion beweisen kann. Daraus folgt sofort, dass die direkte Summe   eine treue Darstellung ist. Diese spezielle Darstellung, die also zu jeder irreduziblen Darstellung genau eine dazu äquivalente Teildarstellung enthält, nennt man die atomare Darstellung.

Manche Klassen von C*-Algebren werden durch ihre irreduziblen Darstellungen charakterisiert:

  • Eine C*-Algebra ist genau dann kommutativ, wenn jede irreduzible Darstellung eindimensional ist.
  • Eine C*-Algebra heißt CCR-Algebra (completely continuous representations), wenn das Bild jeder irreduziblen Darstellung gleich der Algebra der kompakten Operatoren ist.
  • Eine C*-Algebra heißt GCR-Algebra (generalized completely continuous representations), wenn das Bild jeder irreduziblen Darstellung die Algebra der kompakten Operatoren umfasst.

Transitivitätssatz von Kadison

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Eine Darstellung heißt algebraisch irreduzibel, wenn es außer   und   keine invarianten Unterräume, also auch keine nicht-abgeschlossenen, gibt. Algebraische Irreduzibilität ist demnach die stärkere Forderung; es gilt aber der Transitivitätssatz von Kadison, der mit Hilfe des Dichtheitssatzes von Kaplansky bewiesen werden kann:

  • Seien   eine C*-Algebra und   eine topologisch irreduzible Darstellung. Weiter seien   linear unabhängig und  . Dann gibt es ein   mit   für alle  .

Daraus ergibt sich sofort folgendes Korollar:

  • Eine Darstellung einer C*-Algebra ist genau dann topologisch irreduzibel, wenn sie algebraisch irreduzibel ist.

Es ist nur zu zeigen, dass topologisch irreduzible Darstellungen auch algebraisch irreduzibel sind, denn die Umkehrung ist klar. Ist   ein von   verschiedener invarianter Vektorraum, so gibt es ein von 0 verschiedenes  . Ist   beliebig, so gibt es nach dem Transitivitätssatz ein   mit  . Da   invariant ist, folgt  , also insgesamt  . Die einzigen invarianten Unterräume sind daher   und  , das heißt, es liegt algebraische Irreduzibilität vor.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95300-0, S. 58, doi:10.1007/b97227.