Primzetafunktion

Mathematische Funktion

Die Primzetafunktion ist eine mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Rolle spielt. Sie ist verwandt mit der Riemannschen Zetafunktion. Wie viele andere zahlentheoretische Funktionen erlangt sie ihre Bedeutung über die Verbindung zu den Primzahlen.

Definition

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Für eine komplexe Zahl  , deren Realteil größer als 1 ist, wird die Primzetafunktion über eine Dirichletreihe definiert, die sich über alle Primzahlen erstreckt.

 

Obwohl diese Darstellung nur auf der um 1 verschobenen rechten Halbebene konvergiert, existiert eine Fortsetzung auf die komplette rechte Halbebene  , die jedoch nicht in allen Punkten meromorph ist.

Verbindung zur riemannschen Zetafunktion

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Es existiert ein Zusammenhang zwischen der Primzetafunktion und der logarithmierten riemannschen Zetafunktion.[1] Dieser gilt für alle   und drückt sich formelhaft aus über:

 .

Als einfache Beweismöglichkeit dieser Verbindung dient das Euler-Produkt der Zetafunktion. Mit

 

erhält man durch beidseitiges Logarithmieren:

 .

Im letzten Schritt wurde die Taylorreihe des natürlichen Logarithmus um den Punkt   angewendet.

Weitere Darstellungen

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Über eine Möbius-Inversion erhält man die häufig genutzte Darstellung:

 ,

wobei   hier die Möbiusfunktion bezeichnet. Dies ermöglicht eine (analytische) Fortsetzung der Primzetafunktion in elementare Bereiche der Halbebene  , in denen alle Funktionen   mit   holomorph sind. Außerdem kann die Formel für eine schnelle numerische Berechnung der Primzetafunktion herangezogen werden. Zum Beispiel fand Henri Cohen innerhalb weniger Millisekunden:[2]

 

Ferner folgt aus   für  , dass die Reihe   der reziproken Primzahlen divergiert.

Eigenschaften

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Die Primzetafunktion ist eine auf ganz   holomorphe Funktion. Sie besitzt für eine quadratfreie, positive ganze Zahl   Singularitäten in Form von Verzweigungspunkten an

  • allen Stellen  
  • allen Stellen  , wobei   eine beliebige (nicht-triviale) Nullstelle der riemannschen Zetafunktion bezeichnet.

Dies wird unter Betrachtung der Darstellung

 

deutlich, da der Logarithmus an allen Stellen   bzw.   und   (bei   in der Summe) nicht definiert ist.

Da man weiß, dass die Riemannsche Zetafunktion im sog. kritischen Streifen   unendlich viele nicht-triviale Nullstellen besitzt, kommt es zu einer Verdichtung von Singularitäten auf der Geraden  , die als natürliche Grenze des Definitionsbereichs der Primzetafunktion angesehen werden kann.

Des Weiteren gilt für alle  :

 .

Ableitung

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Die Primzetafunktion ist in ganz   holomorph. Ein Ableitungsausdruck ist:

 .

Für die  -te Ableitung gilt:

 .

Stammfunktion

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Eine Stammfunktion ist gegeben durch:

 .

Spezielle Werte

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Wie Euler bereits beweisen konnte, ist die Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen divergent. Es gilt also:

 .

Über sonstige ganzzahlige Werte der Primzetafunktion ist bis heute nichts bekannt. Dezimalentwicklungen sind:

  (Folge A085548 in OEIS)
  (Folge A085541 in OEIS)
  (Folge A085964 in OEIS)
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Einzelnachweise

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  1. Komaravolu Chandrasekharan: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, 1965/66, Kapitel XI, Seite 2
  2. Henri Cohen: Number Theory, Volume II. Analytic and Modern Tools. Springer Verlag, S. 209.