Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln. Zu einem Modul und einem Untermodul ist der Quotientenmodul das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus mit Kern .

Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe Faktorraum in der Theorie der Vektorräume sowie Faktorgruppe in der Gruppentheorie.

Definition

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Es sei   ein Ring. Zu einem  -(Links-)Modul   und einem Untermodul   ist der Quotientenmodul   die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von   nach der Äquivalenzrelation

 

mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung   ein Homomorphismus ist:[1]

 
 

Eigenschaften

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  • Isomorphiesätze: Für zwei Untermoduln   eines Moduls   gilt[2]
 
Für Untermoduln   gilt[3]
 
  • Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel   und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle  ; einem Monomorphismus   entspricht der Quotientenmodul  , einem Epimorphismus   der Untermodul  .
  • Ist ein Modul endlich erzeugt, oder hat er eine endliche Länge, so gilt dies auch für jeden Quotientenmodul.
  • Ist   eine (unitäre, assoziative)  -Algebra, so ist
 
dabei steht   für das Bild von   in  .
  • Ist   ein (zweiseitiges) Ideal in  , so ist der Faktormodul   dasselbe wie der Faktorring  .

Einzelnachweise

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  1. Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 5.1: Linksmoduln
  2. Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.7
  3. Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1, Hanser-Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 5.1.8