Quotientenregel
Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. In Kurzschreibweise lautet sie
- .
Somit führt die Quotientenregel die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.
Regel Bearbeiten
Sind die Funktionen und von einem Intervall in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle mit differenzierbar, dann ist auch die Funktion mit
an der Stelle differenzierbar und es gilt
- .
Beispiel Bearbeiten
Ist , so erhält man für durch Anwendung der Quotientenregel
- .
Ausmultipliziert ergibt sich
- .
Herleitung Bearbeiten
Der Quotient kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten und sind (siehe Abbildung). Wenn um anwächst, ändert sich um und um . Die Änderung der Steigung ist dann
Dividiert man durch , so folgt
- .
Bildet man nun Limes , so folgt
- .
Weitere Herleitungen Bearbeiten
Gegeben sei Nach der Produktregel gilt:
Mit der Kehrwertregel
folgt
Eine alternative Herleitung gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung . Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt, dass existiert.
folglich:
Literatur Bearbeiten
Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das die Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:
- Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2, S. 155–157 (Auszug (Google))
- Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270–271 (Auszug (Google))
Weblinks Bearbeiten
- Quotientenregel auf Wikibooks