Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. In Kurzschreibweise lautet sie

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$.

Somit führt die Quotientenregel die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Regel

Sind die Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ von einem Intervall $D$ in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle $x_{0}\in D$ mit $v(x_{0})\neq 0$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion $f$ mit

$f(x):={\frac {u(x)}{v(x)}}$

an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar und es gilt

$f'(x_{0})={\frac {u'(x_{0})\cdot v(x_{0})-u(x_{0})\cdot v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}$.

Beispiel

Für $f(x)={\frac {x^{2}-1}{2-3x}}$ erhält man für ${\textstyle x\neq {\frac {2}{3}}}$ durch Anwendung der Quotientenregel

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {2x\cdot (2-3x)-(x^{2}-1)\cdot (-3)}{(2-3x)^{2}}}\\\end{aligned}}$.

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen von Termen ergibt

$f'(x)={\frac {-3x^{2}+4x-3}{(2-3x)^{2}}}$.

Herleitung

Quotientenregel

Der Quotient $u(x) \over v(x)$ kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten $u(x)$ und $v(x)$ sind (siehe Abbildung). Wenn $x$ um $\Delta x$ anwächst, ändert sich $u$ um $\Delta u$ und $v$ um $\Delta v$. Die Änderung der Steigung ist dann

${\begin{aligned}{\Delta \left({u \over v}\right)}&={{{u+\Delta u} \over {v+\Delta v}}-{u \over v}}\\&={{(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)} \over {(v+\Delta v)\cdot v}}\\&={{\Delta u\cdot v-u\cdot \Delta v} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}\end{aligned}}$

Dividiert man durch $\Delta x$, so folgt

${{\Delta \left({u \over v}\right)} \over {\Delta x}}={{{\Delta u \over \Delta x}\cdot v-u\cdot {\Delta v \over \Delta x}} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}$.

Bildet man nun den Grenzübergang $\Delta x\to 0$, so folgt

${\left({u \over v}\right)'}={{u'\cdot v-u\cdot v'} \over {v^{2}}}$.

Weitere Herleitungen

Für $f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}=u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}$ gilt nach der Produktregel

${\begin{aligned}f'(x)=u'(x){\frac {1}{v(x)}}+u(x)\left({\frac {1}{v(x)}}\right)'.\end{aligned}}$

Mit der Kehrwertregel

$\left({\frac {1}{v(x)}}\right)'=-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}$

folgt hieraus nach elementaren Termumformungen

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}$

Eine alternative Herleitung gelingt allein mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung $f(x)\cdot v(x)=u(x)$. Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass $f(x)$ überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt, dass $f'(x)$ existiert.

$f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)=u'(x)$

folglich:

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)}{v(x)}}-{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot {\frac {v'(x)}{v(x)}}\\&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}$

Literatur

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das die Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2, S. 155–157 (Auszug (Google))
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270–271 (Auszug (Google))

Weblinks

• Quotientenregel auf Wikibooks