Rand (Banachalgebra)

Banachalgebra

Ein Rand einer Banachalgebra ist eine in der mathematischen Theorie der Banachalgebren betrachtete Menge. Bei Funktionenalgebren über einer Menge handelt es sich um eine Teilmenge von , so dass jede Funktion auf dieser Teilmenge bereits ihr Maximum annimmt. Im allgemeinen Fall kommutativer Banachalgebren ist ein Rand eine entsprechende Teilmenge des Gelfand-Raums.

Motivierendes Beispiel

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Es sei   die Banachalgebra der stetigen Funktionen vom Einheitskreis   in die komplexen Zahlen   mit der Supremumsnorm  . Darin betrachten wir die Diskalgebra  , das ist die Unteralgebra derjenigen Funktionen aus  , die im Inneren des Einheitskreises holomorph sind. Ein   ist nach dem Maximumprinzip der Funktionentheorie bereits durch seine Werte auf dem Rand   eindeutig bestimmt, es gilt

 .

In diesem Fall gilt es sogar

Zu jedem   gibt es ein   mit  .

Wir nehmen diese Tatsache zum Anlass für folgende Definitionen.

Funktionenalgebren

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Es sei   ein kompakter Hausdorffraum und   die Banachalgebra der stetigen Funktionen  . Eine uniforme Algebra über   ist eine Unteralgebra  , die die konstanten Funktionen enthält und die Punkte trennt, das heißt für zwei verschiedene Punkte   gibt es ein   mit  .

Ein Rand für   ist eine Teilmenge  , so dass

 .[1]

Funktionen aus   sind bereits durch ihre Werte auf dem Rand bestimmt, denn sind   mit  , so ist   und damit  .

Die Definition lässt sich leicht auf lokalkompakte Räume verallgemeinern. Man betrachtet dann die Banachalgebra   der stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden, und ersetzt die Forderung, die konstanten Funktionen zu enthalten, dadurch, dass es keinen Punkt   geben darf, in dem jedes   den Wert 0 hat.

Kommutative Banachalgebren

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Ist   eine kommutative Banachalgebra mit dem Gelfand-Raum  , so ist die Gelfand-Transformation ein Homomorphismus  . Hat   ein Einselement, so ist   kompakt. Das Bild   ist eine Funktionenalgebra auf  . Teilmengen von  , die Rand für   sind, nennt man auch einfach Rand für  .

Ein Rand   für eine kommutative Banachalgebra   bestimmt die Elemente von   nur bis auf ein Element des Jacobson-Radikals. Sind nämlich   mit  , so folgt   und daher  , denn das Jacobson-Radikal ist genau der Kern der Gelfand-Transformation. Ist also   halbeinfach, so verschwindet das Jacobson-Radikal und jedes Element ist eindeutig durch die Werte der Gelfand-Transformation auf einem Rand bestimmt.

Beachte: Wird eine Banachalgebra   auch als Funktionenalgebra   aufgefasst, so kann es zu Konflikten zwischen diesen beiden Definitionen kommen, denn   ist nicht notwendigerweise der Gelfand-Raum von  .

Bemerkungen

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Für viele Überlegungen genügt es, Banachalgebren mit Einselement zu betrachten, denn nötigenfalls könnte man eines adjungieren. Im Folgenden betrachten wir daher nur Algebren mit Einselement.

Man ist natürlich an möglichst kleinen Rändern interessiert. Kleinste Ränder gibt es im Allgemeinen aber nicht, aber G. J. Schilow hat gezeigt, dass es stets einen kleinsten abgeschlossenen Rand gibt, den man daher den Schilow-Rand nennt und oft mit dem Symbol für den topologischen Rand mit   bezeichnet.

Für eine Funktionenalgebra   nennt man   einen Peakpunkt, wenn es ein   gibt mit   und   für alle  . Definitionsgemäß sind Peakpunkte in jedem Rand enthalten. Man nennt die Menge aller Peakpunkte nach E. Bishop den Bishop-Rand und bezeichnet ihn mit  , obwohl dies im Allgemeinen kein Rand ist,   kann im Extremfall sogar leer sein. Für beliebige kommutative Banachalgebren   setzt man  

Anders ist das für den sogenannten Choquet-Rand, dessen Definition auf darstellende Maße, wie sie G. Choquet im Rahmen der heute so genannten Choquet-Theorie untersucht hat, zurückgeht. Diese mit   bezeichnete Menge ist stets ein Rand. Wieder definiert man für beliebige kommutative Banachalgebren  . Es gilt

 

und im Allgemeinen sind die Inklusionen echt. In obigem Standardbeispiel der Diskalgebra stimmen alle drei Ränder überein.

Literatur

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Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6

Einzelnachweise

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  1. Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras, Springer-Verlag (2008), ISBN 978-0-387-72475-1, Definition 3.3.1