Schilow-Rand

Der Schilow-Rand (nach Georgi Schilow, nach englischer Transkription auch Shilov-Rand) ist ein mathematisches Konzept aus der Theorie der kommutativen $\mathbb {C}$-Banachalgebren. Damit wird eine Version des aus der Funktionentheorie bekannten Maximumprinzips auf kommutative Banachalgebren übertragen.

Motivation

Der Einfachheit beschränken wir uns auf kommutative Algebren mit Einselement. Es seien $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A\subset C(X)$ eine Unteralgebra der Banachalgebra $C(X)$ der stetigen Funktionen $X\rightarrow \mathbb {C}$ mit folgenden Eigenschaften:

• $1\in A$, das heißt $A$ enthält die konstante Funktion 1,
• $\forall x\not =y\in X:\exists a\in A:a(x)\not =a(y)$, das heißt $A$ trennt die Punkte von $X$

Man sagt dann kurz, $A$ sei eine Funktionenalgebra auf $X$.

Eine abgeschlossene Teilmenge $E\subset X$ heißt maximierend (für $A$), falls für alle Funktionen $a\in A$ Folgendes gilt: $\sup\{|a(x)|;x\in X\}=\sup\{|a(x)|;x\in E\}$.

Ist zum Beispiel $X=\mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} ;\,|z|\leq 1\}$ die Kreisscheibe und $A$ die Diskalgebra, das heißt die Algebra aller stetigen Funktionen auf $\mathbb {D}$, die im Inneren $\mathbb {D} ^{\circ }$ holomorph sind, so ist wegen des Maximumprinzips der Funktionentheorie jede abgeschlossene Teilmenge, die den Rand $\partial \mathbb {D}$ enthält, eine maximierende Menge. Insbesondere ist $\partial \mathbb {D}$ die kleinste maximierende Menge.

Schilow-Rand für Funktionenalgebren

Das Beispiel der Diskalgebra verallgemeinert sich zu folgendem auf Schilow zurückgehenden Satz:

• Sind $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A$ eine Funktionenalgebra auf $X$, so ist der Durchschnitt aller maximierenden Mengen für $A$ nicht leer und wieder maximierend.

Insbesondere gibt es also eine kleinste maximierende Menge. Diese nennt man den Schilow-Rand der Funktionenalgebra $A$, übliche Bezeichnungen sind $S(A),{\check {S}}(A)$ oder $\partial A$. Da maximierende Mengen Ränder sind, ist auch der Schilow-Rand ein Rand.

Schilow-Rand für kommutative Banachalgebren

Sei $A$ eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement. Der Gelfand-Raum $X_{A}$ ist bekanntlich ein kompakter Hausdorffraum und die Gelfand-Transformation $A\rightarrow C(X_{A})$ bildet $A$ auf eine Funktionenalgebra ${\hat {A}}$ auf $X_{A}$ ab. Der Schilow-Rand der Funktionenalgebra ${\hat {A}}$ wird Schilow-Rand von $A$ genannt und ebenfalls mit $S(A),{\check {S}}(A)$ oder $\partial A$ bezeichnet.

Beispiele

• Der Gelfand-Raum der Diskalgebra $A$ ist die Menge der Punktauswertungen $\delta _{z}:A\rightarrow \mathbb {C} ,\,a\mapsto \delta _{z}(a):=a(z)$ und die Abbildung $\mathbb {D} \rightarrow X_{A},\,z\mapsto \delta _{z}$ ist ein Homöomorphismus. Identifiziert man $\mathbb {D}$ mittels dieses Homöomorphismus mit $X_{A}$, so $A={\hat {A}}$ und es ist $\partial A=\partial \mathbb {D}$.
• Sei $X:=\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};\,|z|\leq 1,|w|\leq 1\}$ der Bizylinder mit Radius $(1,1)$. $A$ sei die von allen Polynomen in zwei Variablen erzeugte Unter-Banachalgebra von $C(X)$. Man kann zeigen, dass der Gelfand-Raum von $A$ die Menge der Punktauswertungen $\delta _{x}:A\rightarrow \mathbb {C} ,a\mapsto a(x)$ für $x\in X$ ist und dass $X\rightarrow X_{A},x\mapsto \delta _{x}$ eine Homöomorphismus ist. Man kann also wie oben $X$ mit $X_{A}$ identifizieren. Dann kann man zeigen, dass $\partial A=\{(z,w)\in X;\,|z|=1=|w|\}$. In diesem Fall ist der Schilow-Rand kleiner als der topologische Rand von $X$ in $\mathbb {C} ^{2}$.
• Ist $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $A=C(X)$, so ist $\partial A=X_{A}$.

Bemerkungen

• Ist $A$ eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement, so gilt für die Gelfand-Transformierte ${\hat {a}}:X_{A}\rightarrow \mathbb {C}$, dass $\sup\{|{\hat {a}}(\varphi )|;\,\varphi \in X_{A}\}\,=\,\sup\{|{\hat {a}}(\varphi )|;\,\varphi \in \partial A\}$. Das folgt direkt aus den Definitionen, denn $\partial A$ ist eine maximierende Menge der Funktionenalgebra ${\hat {A}}$. Die Gelfand-Transformierten erfüllen damit ein Maximumprinzip bzgl. des Schilow-Randes. Darüber hinaus gilt folgende lokale Version des Maximumprinzips:

Ist   $U\subset X_{A}\setminus \partial A$   offen, so gilt für alle $a\in A$ und $\varphi \in U$, dass $\textstyle |{\hat {a}}(\varphi )|\leq \sup _{\psi \in \partial U}|{\hat {a}}(\psi )|$.

• Der Choquet-Rand ist stets als dichte Teilmenge im Schilow-Rand enthalten.

• Bekanntlich gilt für das Spektrum $\sigma (a)$ von $a\in A$ die Formel $\sigma (a)={\hat {a}}(X_{A})$. Bezüglich der Ränder der Spektren gilt die Formel $\partial \sigma (a)\subset {\hat {a}}(\partial A)$.