2-Brücken-Knoten

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind 2-Brücken-Knoten bzw. 2-Brücken-Verschlingungen (auch: Knoten bzw. Verschlingungen mit 2 Brücken) eine Klasse von Knoten bzw. Verschlingungen. Sie wurden unter dem Namen Viergeflechte 1956 von Horst Schubert klassifiziert. Weil sie durch eine rationale Zahl ${\frac {p}{q}}$ klassifiziert werden können, werden sie häufig auch als rationale Knoten bzw. rationale Verschlingungen bezeichnet.

Definition

Ein 2-Brūckenknoten ist ein Knoten $K$, dessen Brückenzahl

$br(K)=2$

ist. Das bedeutet, dass er sich so in $4$ Intervalle zerlegen lässt, dass für eine geeignete Ebene $E\subset \mathbb {R} ^{3}$ jeweils $2$ Intervalle in beiden von der Ebene berandeten Halbräumen liegen. (Äquivalent kann man auch verlangen, dass $2$ Intervalle in einer Ebene und die anderen beiden Intervalle in einem der berandeten Halbräume liegen.)

Analog definiert man eine Verschlingung mit 2 Brücken als eine Verschlingung $L$ mit Brückenzahl $br(L)=2$.

Eine äquivalente Definition besagt, dass der Knoten bzw. die Verschlingung nach einer geeigneten Isotopie genau 2 Maxima bzgl. einer Höhenfunktion $h\colon S^{3}\to \mathbb {R}$ hat.

Conway-Normalform

Schematische Darstellung einer 2-Brücken-Verschlingung

Aus der unten stehenden Klassifikation ergibt sich, dass man jede Verschlingung mit 2 Brücken wie im Bild rechts darstellen kann, wobei $a_{i}\in \mathbb {Z}$ die Anzahl der Halbtwists in der jeweiligen Box bezeichnet und für gerade bzw. ungerade $i$ positive $a_{i}$ links- bzw. rechtshändigen Halbtwists entsprechen.

Diese Darstellung wird als Conway-Normalform bezeichnet.

Man kann stets erreichen, dass alle $a_{i}$ dasselbe Vorzeichen haben. Insbesondere gibt die Conway-Normalform dann ein alternierendes Knotendiagramm.

Klassifikation

Die über einer 2-Brücken-Verschlingung verzweigte 2-fache Überlagerung der 3-Sphäre ist ein Linsenraum $L(p,q)$. Die 2-Brücken-Verschlingungen werden durch diese Linsenräume klassifiziert. Man bezeichnet deshalb mit $K(p,q)$ diejenige Verschlingung, für die man den Linsenraum $L(p,q)$ erhält.

Insbesondere entsprechen zwei rationale Zahlen ${\frac {p_{1}}{q_{1}}}$ und ${\frac {p_{2}}{q_{2}}}$ genau dann isotopen Verschlingungen, wenn

$p_{1}=p_{2}$ und entweder $q_{1}\equiv q_{2}\mod p$ oder $q_{1}q_{2}\equiv 1\mod p$ ist.

Modulo dieser Identitäten werden 2-Brücken-Verschlingungen also durch eine rationale Zahl ${\frac {p}{q}}$ klassifiziert, wobei man $p>0$ und $-p<q<p$ annehmen kann.

In der oben beschriebenen Conway-Normalform entspricht ${\frac {p}{q}}$ dem Kettenbruch $\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \right]$:

${\frac {p}{q}}={\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\;\,\ddots }}}}}}}}$

(Die Kettenbruchdarstellung einer rationalen Zahl ${\frac {p}{q}}$ ist nicht eindeutig, aber alle Kettenbruchzerlegungen ergeben denselben Knoten $K(p,q)$.)

Das Spiegelbild eines 2-Brücken-Knotens $K(p,q)$ ist $K(p,-q)$. Einen orientierungsumdrehenden Homöomorphismus $(S^{3},K(p_{1},q_{1}))\to (S^{3},K(p_{2},q_{2}))$ zwischen zwei unterschiedlichen 2-Brücken-Knoten gibt es genau dann, wenn

$p_{1}=p_{2}$ und entweder $q_{1}\equiv -q_{2}\mod p$ oder $q_{1}q_{2}\equiv -1\mod p$ ist.

Insbesondere ist ein 2-Brücken-Knoten genau dann amphichiral, wenn $q^{2}\equiv -1\ mod\ p$ ist.

Für 2-Brücken-Verschlingungen (mit 2 Komponenten) gibt es einen orientierungserhaltenden Homöomorphismus genau dann, wenn

$p_{1}=p_{2}$ und entweder $q_{1}\equiv q_{2}\mod 2p$ oder $q_{1}q_{2}\equiv 1\mod 2p$ ist.

Beispiele

Die einzigen Torusknoten unter den 2-Brücken-Knoten sind die $(\pm 2,n)$-Torusknoten.

Alle 2-Brücken-Knoten, die keine Torusknoten sind, sind hyperbolische Knoten.

Die Kleeblattschlinge ist der 2-Brücken-Knoten $K(3,1)$ mit Conway-Normalform $\left[3\right]$, der Achterknoten ist der 2-Brücken-Knoten $K(5,2)$ mit Conway-Normalform $\left[2,2\right]$.

KnotInfo gibt eine Liste aller 2-Brücken-Knoten mit bis zu 12 Kreuzungen und berechnet die bekannten Knoteninvarianten.

$K(p,q)$ ist genau dann ein Knoten, wenn $p$ ungerade ist. Wenn $p$ gerade ist, dann besteht die 2-Brücken-Verschlingung aus zwei Komponenten.

Eigenschaften und Invarianten

Die Knotengruppe der 2-Brücken-Verschlingung $K(p,q)$ hat die Präsentierung

$\langle a,b\mid ab^{\epsilon _{1}}a^{\epsilon _{2}}\ldots b^{\epsilon _{\alpha _{1}}}a^{-1}b^{-\epsilon _{\alpha _{1}}}\ldots a^{-\epsilon _{2}}b^{-\epsilon _{1}}\rangle$

mit $\epsilon _{k}:=\left(-1\right)^{\left[{\frac {kp}{q}}\right]}$.

Die inkompressiblen Flächen in den Komplementen von 2-Brückenknoten wurden von Hatcher und Thurston klassifiziert. Insbesondere bewiesen sie, dass es keine geschlossenen inkompressiblen Flächen gibt. Wenn $K(p,q)$ kein Torusknoten ist, dann gibt jede Dehn-Chirurgie eine irreduzible 3-Mannigfaltigkeit und fast alle Dehn-Chirurgien geben Mannigfaltigkeiten, die keine Haken-Mannigfaltigkeit und auch keine Seifert-Faserung sind.

Bereits Schubert bewies, dass die 2-fachen verzweigten Überlagerungen Linsenräume sind. Die Klassifikation aller endlichen verzweigten Überlagerungen wurde von Minkus erarbeitet.

Die Komplemente hyperbolischer 2-Brückenknoten (mit Ausnahme des Achterknotens) sind zu keinen anderen Knotenkomplementen außer sich selbst kommensurabel.

Es gibt Formeln für die Berechnung des HOMFLY-Polynoms und insbesondere des Jones-Polynoms von 2-Brücken-Knoten.

Siehe auch

• Montesinos-Knoten

Literatur

• Horst Schubert: Knoten mit zwei Brücken, Mathematische Zeitschrift 65, 133–170 (1956). doi:10.1007/BF01473875
• John Conway: An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties. Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967) 329–358, Pergamon, Oxford (1970). PDF
• Laurent Siebenmann: Exercices sur les noeuds rationnels, Université Paris-Sud (1975).
• Louis H. Kauffman, Sofia Lambropoulou: On the classification of rational knots, L' Enseignement Mathématique, 49, 357–410 (2003). ArXiv
• C. C. Adams, Das Knotenbuch. Einführung in die mathematische Theorie der Knoten, Spektrum Akademischer Verlag (1995), ISBN 3-86025-338-7

Weblinks

• Tabelle rationaler Knoten mit bis zu 16 Kreuzungen