Montesinos-Knoten

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Montesinos-Knoten bzw. Montesinos-Verschlingungen eine Klasse von Knoten bzw. Verschlingungen. Fast 25 % aller Knoten mit bis zu 11 Überkreuzungen sind Montesinos-Knoten.

Definition

Die Montesinos-Verschlingung

K(-3,-{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}})

.

Seien $e$ eine ganze Zahl und ${\tfrac {p_{1}}{q_{1}}},\ldots ,{\tfrac {p_{n}}{q_{n}}}$ rationale Zahlen. Die $(e,{\tfrac {p_{1}}{q_{1}}},\ldots ,{\tfrac {p_{n}}{q_{n}}})$ -Montesinos-Verschlingung ist eine aus $n+1$ rationalen Tangles bestehende Verschlingung, deren $i$ -ter Tangle in der Conway-Notation der rationalen Zahl ${\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}$ entspricht.

Falls die Verschlingung zusammenhängend ist, handelt es sich um den $(e,{\tfrac {p_{1}}{q_{1}}},\ldots ,{\tfrac {p_{n}}{q_{n}}})$ -Montesinos-Knoten.

Montesinos-Knoten mit ganzzahligen Koeffizienten (also $q_{1}=\ldots =q_{n}=1$ ) werden als Brezelknoten bezeichnet.

Verzweigte Überlagerungen

Montesinos-Knoten $K\subset S^{3}$ werden durch folgende Eigenschaft charakterisiert: Die 2-fache verzweigte Überlagerung der $S^{3}$ über $K$ ist eine Seifert-Faserung mit der 2-Sphäre als Basis.^[1]^[2]

Dies verallgemeinert Schuberts Charakterisierung rationaler Knoten. (In diesem Fall ist die 2-fache verzweigte Überlagerung ein Linsenraum.)

Noch allgemeiner wurde von Montesinos gezeigt, dass die 2-fache verzweigte Überlagerung über einem arboreszenten Knoten eine Graph-Mannigfaltigkeit ist.

Klassifikation

Eine Klassifikation der Montesinos-Knoten und Montesinos-Verschlingungen wurde 1979 von Bonahon bewiesen,^[3] andere Beweise der Klassifikation gaben Zieschang^[4] und Turaev.^[5]

Das Ergebnis der Klassifikation ist: Montesinos-Verschlingungen aus $n+1$ rationalen Tangles, mit $n\geq 3$ und $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{q_{i}}}\leq n-2$ , werden klassifiziert durch die geordnete Menge

\left({\frac {p_{1}}{q_{1}}}\mod \ 1,\ldots ,{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\mod \ 1\right)

(bis auf zyklische Permutationen und Umkehrung der Reihenfolge) zusammen mit der rationalen Zahl

e_{0}=e+\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{q_{i}}}

.

Alternativ werden Montesinos-Verschlingungen klassifiziert durch die Quotienten der Knotengruppe nach dem von den Meridianen erzeugten Normalteiler.

Literatur

Gerhard Burde, Heiner Zieschang: Knots. (= de Gruyter Studies in Mathematics. 5). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2003, ISBN 3-11-017005-1, Kapitel 12.

Einzelnachweise

↑ José M. Montesinos: Variedades de Seifert que son recubridores ciclicos ramificados de dos hojas. In: Bol. Soc. Mat. Mexicana. (2) Band 18, 1973, S. 1–32.
↑ José M. Montesinos: Revêtements ramifiés de noeuds, espaces fibrés de Seifert et scindements de Heegaard. Prépublications Orsay (1979).
↑ F. Bonahon: Involutions et fibrés de Seifert dans les variétés de dimension 3. Dissertation. Université Paris-Sud XI - Orsay 1979.
↑ Heiner Zieschang: Classification of Montesinos knots. In: Ludwig D. Faddeev, Arkadii A. Malcev (Hrsg.): Topology. (= Lecture Notes in Math. 1060). Topological Conference Leningrad 1982. Springer, Berlin 1984, ISBN 3-540-13337-2, S. 378–389.
↑ V. G. Turaev: Classification of oriented Montesinos links via spin structures. In: Topology and geometry—Rohlin Seminar. (= Lecture Notes in Math. 1346). Springer, Berlin 1988, S. 271–289.

[1] José M. Montesinos: Variedades de Seifert que son recubridores ciclicos ramificados de dos hojas. In: Bol. Soc. Mat. Mexicana. (2) Band 18, 1973, S. 1–32.

[2] José M. Montesinos: Revêtements ramifiés de noeuds, espaces fibrés de Seifert et scindements de Heegaard. Prépublications Orsay (1979).

[3] F. Bonahon: Involutions et fibrés de Seifert dans les variétés de dimension 3. Dissertation. Université Paris-Sud XI - Orsay 1979.

[4] Heiner Zieschang: Classification of Montesinos knots. In: Ludwig D. Faddeev, Arkadii A. Malcev (Hrsg.): Topology. (= Lecture Notes in Math. 1060). Topological Conference Leningrad 1982. Springer, Berlin 1984, ISBN 3-540-13337-2, S. 378–389.

[5] V. G. Turaev: Classification of oriented Montesinos links via spin structures. In: Topology and geometry—Rohlin Seminar. (= Lecture Notes in Math. 1346). Springer, Berlin 1988, S. 271–289.

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