In dem mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Abbildungskegel eine Konstruktion, die einer stetigen Funktion zwischen zwei topologischen Räumen einen dritten solchen Raum zuordnet. Sie ist nah verwandt mit dem Konzept des Kegels über einem topologischen Raum; ebenso wie dieser wird der Abbildungskegel hauptsächlich in der algebraischen Topologie betrachtet. Allgemeiner gibt es in der homologischen Algebra den Abbildungskegel von Kettenabbildungen zwischen Kettenkomplexen.

Definition

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Der Abbildungskegel

Seien   zwei topologische Räume und   eine stetige Funktion zwischen diesen, sei weiter   der Kegel über  .

Den Abbildungskegel   erhält man nun (wie in der Zeichnung angedeutet) durch Verkleben von   und   vermöge  .

Genauer bedeutet dies:

Identifiziert man in der disjunkten Vereinigung   jeweils   mit   für jedes  , so ergibt sich implizit eine Äquivalenzrelation  .

Der Abbildungskegel ist dann der Faktorraum   versehen mit der Quotiententopologie bezüglich der kanonischen Projektion  .

Reduzierter Abbildungskegel

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In der Kategorie der punktierten topologischen Räume - sind also   punktiert und gilt   - betrachtet man meist den reduzierten Abbildungskegel  . Dieser entsteht dadurch, dass man im Abbildungskegel   auch noch das Intervall   - genauer sein Bild unter der Projektion   - identifiziert.

Analog kann bei der obigen Konstruktion des Abbildungskegels auch gleich vom reduzierten Kegel   ausgegangen werden.

Eigenschaften

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  • Der Raum   ist in natürlicher Weise Teilraum von  , da jeder seiner Punkte unter der Projektion   erhalten bleibt.
  • Ist   injektiv und relativ offen, also ein Homöomorphismus auf sein Bild, so sind auch   und damit   in   enthalten.
  • Betrachtet man die Identität  , so gilt die Homöomorphie  .

Alle obigen Beziehungen gelten auch für den reduzierten Abbildungskegel im Falle punktierter Räume   und   und basispunkterhaltendem  , gegebenenfalls muss dafür zum reduzierten Kegel   übergegangen werden.

  • Ist   die anklebende Abbildung in einem CW-Komplex   an das  -Skelett  , so ist der Abbildungskegel   homöomorph zum  -Skelett  .

Dies ist eine der Hauptanwendungen des Abbildungskegels in der algebraischen Topologie. Speziell für den reduzierten Abbildungskegel gilt außerdem:

  • Sind   punktiert und   konstant, so gilt  , wobei   die reduzierte Einhängung von   und   das Wedge-Produkt bezeichne.
  • Für einen wohlpunktierten Raum ist der reduzierte Abbildungskegel homotopieäquivalent zum normalen Abbildungskegel.
  • Eine Abbildung   induziert einen Isomorphismus   für eine Homologietheorie   genau dann wenn  .

Rolle in der Homotopietheorie

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Sind zwei stetige Abbildungen   homotop, so sind ihre Abbildungskegel   und   homotopieäquivalent.

Wenn   ein abgeschlossener Teilraum und die Inklusion   eine Kofaserung ist, so ist   homotopieäquivalent zum Quotientenraum  . Es lässt sich außerdem zeigen, dass die Inklusion   stets eine abgeschlossene Kofaserung ist. Somit erhält man, dass der Abbildungskegel   homotopieäquivalent zu   ist, wobei hier   die Einhängung von   bezeichne. Fährt man auf die gleiche Weise fort, so folgt, dass der Abbildungskegel der Inklusion von   nach   die Einhängung von   ergibt usw.

Hat man weiter ein stetiges   in einen topologischen Raum  , so ist die Komposition   genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn   fortsetzbar ist zu einer Abbildung  . Für den Fall, dass   ist das Resultat noch etwas anschaulicher: eine Abbildung   ist genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn sie fortsetzbar ist zu einer Abbildung  . Um die Abbildung   zu konstruieren, benutzt man einfach die Homotopie  , die auf   konstant ist.

Wenn man punktierte Räume und basispunkterhaltende Abbildungen betrachtet, bedeutet dies, dass die folgende Sequenz exakt ist:

 

Diese exakte Sequenz nennt man auch Puppe-Folge.

Abbildungskegel einer Kettenabbildung

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Seien   zwei Kettenkomplexe mit Differentialen   d. h.,

 

und entsprechend für  

Für eine Kettenabbildung   definiert man den Abbildungskegel   oder   als den Kettenkomplex:

 

mit Differential

 .

Hierbei bezeichnet   den Kettenkomplex mit   und  . Explizit berechnet sich das Differential wie folgt:

 

Wenn   eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und   die induzierte Kettenabbildung zwischen den singulären Kettenkomplexen ist, dann ist

 .

Siehe auch

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Literatur

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  • Glen E. Bredon: Topology and Geometry. Revised 3rd printing. Springer, New York u. a. 1997, ISBN 0-387-97926-3 (Graduate Texts in Mathematics 139).
  • Robert M. Switzer: Algebraic Topology – Homology and Homotopy. Reprint of the 1975 edition. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42750-3 (Classics in Mathematics).