Satz von Gleason-Kahane-Żelazko

Der Satz von Gleason-Kahane-Żelazko, benannt nach Andrew Gleason, Jean-Pierre Kahane und Wiesław Żelazko, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz charakterisiert die multiplikativen linearen Funktionale auf einer $\mathbb {C}$-Banachalgebra.

Formulierung des Satzes

Seien $A$ eine $\mathbb {C}$-Banachalgebra mit Einselement $e$ und $\varphi :A\rightarrow \mathbb {C}$ ein lineares Funktional. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $\varphi \not =0$, und $\varphi$ ist multiplikativ, das heißt, $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$ für alle $a,b\in A$.
2. $\varphi (e)=1$, und ${\rm {ker(\varphi )}}$ besteht nur aus nicht-invertierbaren Elementen.
3. $\varphi (a)\in \sigma (a)$ für alle $a\in A$, das heißt, für jedes $a\in A$ liegt $\varphi (a)$ im Spektrum von $a$

Bemerkungen

• Die Schlüsse $(1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)$ sind sehr einfach. Die nicht-triviale Aussage des Satzes steckt im Schluss $(3)\Rightarrow (1)$.
• Für reelle Banachalgebren ist der Satz im Allgemeinen falsch. Ist $C_{\mathbb {R} }([0,1])$ die Banachalgebra der stetigen Funktionen $[0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ und ist $\varphi :C_{\mathbb {R} }([0,1])\rightarrow \mathbb {R}$ definiert durch $\varphi (f):=\int _{0}^{1}f(t)\,{\rm {d}}t$, so ist $\varphi$ ein stetiges lineares Funktional. Zu jedem $f\in C_{\mathbb {R} }([0,1])$ gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ein $t_{0}\in [0,1]$ mit $\varphi (f)=\int _{0}^{1}f(t)\,{\rm {d}}t=f(t_{0})$, und $f(t_{0})$ liegt im Spektrum von $f$, denn $f-f(t_{0})\cdot 1$ hat eine Nullstelle, nämlich $t_{0}$, und ist daher nicht invertierbar. Daher erfüllt $\varphi$ den dritten Punkt obigen Satzes, nicht aber den ersten, denn das Integrieren ist bekanntlich nicht multiplikativ.

Quellen

• F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2.
• Andrew M. Gleason: A characterization of maximal ideals. Journal d’Analyse Mathématique, Band 19 (1967), Seiten 171–172.
• Jean-Pierre Kahane, Wiesław Żelazko: A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras. Studia Mathematica, Band 29 (1968), Seiten 339–343.