Satz von Kato

Der Satz von Kato ist ein mathematischer Lehrsatz, der dem Gebiet der Funktionalanalysis angehört und auf den japanischen Mathematiker Tosio Kato zurückgeht. Der Satz behandelt eine Eigenschaft der stetigen linearen Abbildungen zwischen Banachräumen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien zwei Banachräume $E,F$ und eine stetige lineare Abbildung $A\colon E\to F$.

Der Bildraum $A(E)\subseteq F$ besitze endliche Kodimension.

Dann gilt:

$A(E)$ ist ein abgeschlossener Unterraum von $F$.

Verallgemeinerung

Der Satz von Kato ist eine direkte Folgerung aus einem allgemeineren Satz, der lautet wie folgt:

Gibt es unter den obigen Voraussetzungen einen abgeschlossenen Unterraum $G\subseteq F$ derart, dass einerseits $A(E)\cap G=\{0\}$ und andererseits die direkte Summe $A(E)\oplus G$ ein abgeschlossener Unterraum von $F$ ist, so muss bereits $A(E)$ selbst ein abgeschlossener Unterraum von $F$ sein.

Andere Fassung

Der Satz von Kato ist in der Fachliteratur auch in einer anderen Fassung zu finden, welche zwischen der oben dargebotenen Version und der obigen Verallgemeinerung angesiedelt ist. Diese Fassung lautet wie folgt:

Es sei $A$ ein stetiger linearer Endomorphismus auf dem Banachraum $E$ und weiter $G$ ein abgeschlossener Unterraum von $E$ derart, dass einerseits $A(E)\cap G=\{0\}$ und andererseits die direkte Summe $A(E)\oplus G$ ein abgeschlossener Unterraum von $E$ ist.

Dann ist der Bildraum $A(E)$ bereits selbst ein abgeschlossener Unterraum von $E$.

Verwandtes Resultat: Der Satz von Riesz über kompakte Operatoren

Die Bedeutung der im Satz von Kato aufgeworfenen Frage nach dem Zusammenhang zwischen Abgeschlossenheit und Kodimensionalität der Bildräume stetiger linearer Abbildungen zeigt sich auch bei der Untersuchung der kompakten Operatoren auf Banachräumen. Hierzu gilt ein klassischer Satz des ungarischen Mathematikers F. Riesz:

Es sei $A$ ein kompakter Operator auf dem Banachraum $E$.

Dann hat der zugehörige Operator $T=Id-A$ die folgenden Eigenschaften:

(1) Der Nullraum von $T$ ist endlich-dimensional.

(2) Der Bildraum von $T$ ist abgeschlossen.

(3) Der Faktorraum $E/T(E)$ ist endlich-dimensional.

Anmerkungen

1. Harro Heuser nennt die Verallgemeinerung des Satzes von Kato ein wichtiges hinreichendes Kriterium.
2. In der obigen anderen Fassung spielt der Satz von Kato etwa in der Spektraltheorie eine bedeutende Rolle.
3. Im englischsprachigen Raum wird der Satz von Kato manchmal auch als closed range theorem of T. Kato bezeichnet.

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4., durchgesehene Auflage. B. G. Teubner Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8351-0026-8 (MR2380292). 
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= B. I.-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR0463864). 
• Hans-Dieter Wacker: Über die Verallgemeinerung eines Satzes von Kato. In: Mathematische Zeitschrift. Band 190, 1985, S. 55–61, doi:10.1007/BF01159163 (MR0793348).