Der Satz von Kato ist ein mathematischer Lehrsatz, der dem Gebiet der Funktionalanalysis angehört und auf den japanischen Mathematiker Tosio Kato zurückgeht. Der Satz behandelt eine Eigenschaft der stetigen linearen Abbildungen zwischen Banachräumen.[1]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich angeben wie folgt:[2]

Gegeben seien zwei Banachräume   und eine stetige lineare Abbildung  .
Der Bildraum   besitze endliche Kodimension.
Dann gilt:
  ist ein abgeschlossener Unterraum von  .

Verallgemeinerung

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Der Satz von Kato ist eine direkte Folgerung aus einem allgemeineren Satz, der lautet wie folgt:[2]

Gibt es unter den obigen Voraussetzungen einen abgeschlossenen Unterraum   derart, dass einerseits   und andererseits die direkte Summe   ein abgeschlossener Unterraum von   ist, so muss bereits   selbst ein abgeschlossener Unterraum von   sein.

Andere Fassung

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Der Satz von Kato ist in der Fachliteratur auch in einer anderen Fassung zu finden, welche zwischen der oben dargebotenen Version und der obigen Verallgemeinerung angesiedelt ist. Diese Fassung lautet wie folgt:[3]

Es sei   ein stetiger linearer Endomorphismus auf dem Banachraum   und weiter   ein abgeschlossener Unterraum von   derart, dass einerseits   und andererseits die direkte Summe   ein abgeschlossener Unterraum von   ist.
Dann ist der Bildraum   bereits selbst ein abgeschlossener Unterraum von  .

Verwandtes Resultat: Der Satz von Riesz über kompakte Operatoren

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Die Bedeutung der im Satz von Kato aufgeworfenen Frage nach dem Zusammenhang zwischen Abgeschlossenheit und Kodimensionalität der Bildräume stetiger linearer Abbildungen zeigt sich auch bei der Untersuchung der kompakten Operatoren auf Banachräumen. Hierzu gilt ein klassischer Satz des ungarischen Mathematikers F. Riesz:[4]

Es sei   ein kompakter Operator auf dem Banachraum  .
Dann hat der zugehörige Operator   die folgenden Eigenschaften:
(1) Der Nullraum von   ist endlich-dimensional.
(2) Der Bildraum von   ist abgeschlossen.
(3) Der Faktorraum   ist endlich-dimensional.

Anmerkungen

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  1. Harro Heuser nennt die Verallgemeinerung des Satzes von Kato ein wichtiges hinreichendes Kriterium.[2]
  2. In der obigen anderen Fassung spielt der Satz von Kato etwa in der Spektraltheorie eine bedeutende Rolle.[3]
  3. Im englischsprachigen Raum wird der Satz von Kato manchmal auch als closed range theorem of T. Kato bezeichnet.[5]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Harro Heuser: Funktionalanalysis. 2006, S. 309–310
  2. a b c Harro Heuser: Funktionalanalysis. 2006, S. 310
  3. a b Hans-Dieter Wacker: Über die Verallgemeinerung eines Satzes von Kato. In: Mathematische Zeitschrift 190 (1985), S. 55 ff
  4. Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. 1971, S. 103 ff
  5. Vgl. MR0793348@1@2Vorlage:Toter Link/ams.math.uni-bielefeld.de (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im Mai 2019. Suche in Webarchiven)!