Satz von Lasry

Der Satz von Lasry, auch genannt unter dem Stichwort Lasry'sche Gleichung, englisch Lasry's equality oder Lasry equality, ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Funktionalanalysis und wurde etwa um das Jahr 1973 von dem französischen Mathematiker Jean-Michel Lasry vorgelegt. Der Satz gibt eine mit der Ungleichung von Ky Fan direkt verwandte Gleichung für gewisse reelle Funktionen auf topologischen Produkträumen.

Formulierung des Satzes

Der Monographie von Jürgen Heine folgend lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein nichtleerer kompakter pseudometrischer Raum $X$ sowie ein halbnormierter $\mathbb {R}$-Vektorraum $V$ und darin eine nichtleere konvexe Teilmenge $Y\subseteq V$ mit $C(X,Y)$ als der zugehörigen Menge der stetigen Abbildungen .

Gegeben sei weiter eine reelle Funktion $f\colon X\times Y\to \mathbb {R}$.

Dabei sei einerseits für jedes $x\in X$ die untergeordnete Funktion $f(x,{\cdot })\colon Y\to \mathbb {R} \;,\;y\mapsto f(x,y)\;,\;$ konkav und nach oben beschränkt und andererseits für jedes $y\in Y$ die untergeordnete Funktion $f({\cdot },y)\colon X\to \mathbb {R} \;,\;x\mapsto f(x,y)\;,\;$ unterhalbstetig.

Dann gilt

$\inf _{x\in X}\sup _{y\in Y}{f(x,y)}=\sup _{\phi \in C(X,Y)}\inf _{x\in X}{f(x,{\phi (x)})}$.

Allgemeiner Hintergrund

Im Zusammenhang mit dem Satz von Lasry ist das folgende allgemeine Resultat bedeutsam:

Gegeben seien nichtleere Mengen $X$ und $Y$ mit $Y^{X}$ als der zugehörigen Menge der Abbildungen sowie eine reelle Funktion $f\colon X\times Y\to \mathbb {R}$.

Dabei sei für jedes $x\in X$ die untergeordnete Funktion $f(x,{\cdot })\colon Y\to \mathbb {R}$ nach oben beschränkt.

Dann gilt

$\inf _{x\in X}\sup _{y\in Y}{f(x,y)}=\sup _{\phi \in Y^{X}}\inf _{x\in X}{f(x,{\phi (x)})}$.

Anmerkung

Der Satz von Lasry besagt also, dass in der dort genannten Situation die entsprechende Gleichung mit $C(X,Y)$ anstelle von $Y^{X}$ richtig ist.

Literatur

• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0. 
• Jean-Pierre Aubin: Optima and Equilibria. An introduction to nonlinear analysis. Translated from the French by Stephen Wilson (= Graduate Texts in Mathematics. Band 140). 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-540-64983-2 (englisch, MR1729758). 
• Jean-Pierre Aubin: Applied Abstract Analysis. Exercises by Bernard Cornet and Hervé Moulin. Translated from the French by Carole Labrousse (= Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, London, Sydney, Toronto 1977, ISBN 0-471-02146-6 (englisch, MR0470034). 

Siehe auch

• Min-Max-Theorem