Satz von Leonardo

Der Satz von Leonardo (englisch Leonardo’s Theorem) ist ein Lehrsatz der Absoluten Geometrie, der dem Mathematiker Hermann Weyl zufolge auf Leonardo da Vinci zurückzuführen ist. Der Satz behandelt die Frage der Struktur endlicher Isometriegruppen absoluter Ebenen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich in moderner Formulierung angeben wie folgt:

Gegeben sei eine Ebene $E$ der Absoluten Geometrie und zudem eine endliche Gruppe $\Gamma \subset \operatorname {Sym} _{E}$ von Isometrien auf $E$.

Dann gilt:

$\Gamma$ ist entweder eine zyklische Gruppe oder $\Gamma$ ist isomorph zu einer Diedergruppe. Der erste Fall liegt vor, wenn $\Gamma$ lediglich aus Drehungen besteht, während der zweite Fall gegeben ist, wenn $\Gamma$ neben Drehungen mindestens eine Geradenspiegelung enthält, welche nicht die identische Abbildung ist.

Zur Historie des Satzes

Studie einer Kirche.
Leonardo da Vinci (um 1488).
In Manuskript B der Pariser Manuskripte, Institut de France, Paris.

Nach Hermann Weyl entdeckte Leonardo den Satz, als er in seinen Studien zur Architektur der Frage nachging, wie man einem Gebäude Kapellen und Nischen anfügen könne, ohne die Symmetrie des Gebäudekerns zu zerstören.

Siehe auch

• Dreispiegelungssatz

Literatur

• H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Ins Deutsche übersetzt von J. J. Burckhardt (= Wissenschaft und Kultur. Band 17). Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1963, S. 54 (MR0692941). 
• George E. Martin: The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane (= Undergraduate Texts in Mathematics). Springer Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1982, ISBN 0-387-90694-0, S. 386 ff. (MR0666074 – Reprint). 
• Daniel Pedoe: Geometry and the Visual Arts. Reprint of the edition 1976. Dover Publications, New York 1983, ISBN 0-486-24458-X, S. 95 ff., 258–261. 
• Hermann Weyl: Symmetrie. Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1955, S. 71, 102 (MR0079586).