Satz von Mather-Thurston

Lehrsatz aus der geometrischen Topologie

In der Mathematik ist der Satz von Mather-Thurston ein Lehrsatz aus der geometrischen Topologie. Er ist nach John Mather und William Thurston benannt.

Er besagt, dass man für jede Mannigfaltigkeit einen Isomorphismus von Kohomologiegruppen

hat. Dabei ist die linke Seite die Gruppenkohomologie der Gruppe der Homöomorphismen von und die rechte Seite die Kohomologie des klassifizierenden Raums dieser Homöomorphismengruppe mit der Kompakt-Offen-Topologie. Der Isomorphismus wird von der stetigen Abbildung induziert, wobei die linke Seite die Homöomorphismengruppe mit der diskreten Topologie ist.

Im Fall orientierter Mannigfaltigkeiten erhält man entsprechend für die Gruppe der orientierungstreuen Homöomorphismen einen Isomorphismus . Beispielsweise für , den Kreis, ist homotopie-äquivalent zu , also , und man erhält dass von der Euler-Klasse erzeugt wird.

Eine andere Formulierung des Satzes von Mather-Thurston besagt, dass für und alle die Abbildung ein Isomorphismus von Homologiegruppen (aber keine Homotopie-Äquivalenz) ist. Hier ist die Gruppe der -Diffeomorphismen mit kompaktem Träger, der klassifizierende Raum der Haefliger-Strukturen (bezüglich der diskreten Topologie) und sein -fach iterierter Schleifenraum.

Aus dem Satz von Mather-Thurston folgt beispielsweise, dass ein -zusammenhängender Raum ist. Die Topologie des klassifizierenden Raumes ist ein wichtiges Hilfsmittel zum Verständnis der Kodimension--Blätterungen auf Mannigfaltigkeiten.

Literatur

Bearbeiten
  • W. Thurston: Foliations and groups of diffeomorphisms, Bull. Amer. Math. Soc. 80, 304–307
  • T. Tsuboi: Homology of diffeomorphism groups, and foliated structures, Sūgaku 36(4), 320–343
  • T. Tsuboi: Classifying spaces for groupoid structures, Contemp. Math. 498, 67–81
  • S. Nariman: A local to global argument on low dimensional manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 373(2), 1307–1342