Satz von Mourier

Der Satz von Mourier ist ein Lehrsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf die französische Mathematikerin Édith Mourier zurück und formuliert eine hinreichende Bedingung zum Bestehen des starken Gesetzes der großen Zahlen für gewisse Folgen von Zufallselementen in einem separablen Banachraum über dem Körper der reellen Zahlen. Der Satz lässt sich als Verallgemeinerung des zweiten kolmogorowschen Gesetzes der großen Zahlen auffassen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )$, ein separabler $\mathbb {R}$-Banachraum $(X,\|{\cdot }\|)$ und eine Folge

${\xi }_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to (X,\|{\cdot }\|)\;(n\in \mathbb {N} )$

von Zufallselementen in $X$.

Die Folge sei stochastisch unabhängig und ihre Glieder ${\xi }_{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ seien identisch verteilt.

Dabei gelte

$\operatorname {E} {\bigl (}\|{\xi }_{1}\|{\bigr )}<{\infty }$   .

Dann gilt $\operatorname {P}$-fast sicher die Konvergenz

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\xi _{j}=\operatorname {E} {\bigl (}{\xi }_{1}{\bigr )}$   .

Erläuterungen

• Eine Borel-messbare Zufallsvariable $\xi \colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to (X,{\mathcal {B}}(X))$ mit Werten in einem topologischen Raum $X$ wird allgemein als Zufallselement bezeichnet.
• Bei einem Zufallselement $\xi$ mit Werten in einem separablen normierten $\mathbb {R}$-Vektorraum $(X,\|{\cdot }\|)$ wird mit $\operatorname {E} {\bigl (}\xi {\bigr )}$ stets dessen Erwartungswert bezeichnet, sofern dieser definiert ist. Er ist zumindest immer dann definiert, wenn für $\xi$ das Pettis-Integral existiert. Ist dies der Fall, so ist der Erwartungswert gleich dem Pettis-Integral. Der Erwartungswert $\operatorname {E} {\bigl (}\xi {\bigr )}$ zeichnet sich dadurch aus, dass für stetige Linearformen $f\colon (X,\|{\cdot }\|)\to \mathbb {R}$ stets $\operatorname {E} {\bigl (}f\circ \xi {\bigr )}=f(\operatorname {E} {\bigl (}\xi {\bigr )})$ gilt.
• Für ein Zufallselement $\xi$ mit Werten in einem separablen $\mathbb {R}$-Banachraum $(X,\|{\cdot }\|)$ ist $\|\xi \|\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \;,\;\omega \mapsto {\|\xi (\omega )\|}\;(\omega \in \Omega )$ stets eine nichtnegative reelle Zufallsvariable, für die der Erwartungswert $\operatorname {E} {\bigl (}\|\xi \|{\bigr )}\in [0\;,\;{\infty }]$ stets existiert.   Ist dabei sogar $\operatorname {E} {\bigl (}\|\xi \|{\bigr )}<{\infty }$, so existiert auch der Erwartungswert $\operatorname {E} {\bigl (}\xi {\bigr )}$ .

Verwandtes Resultat im Zusammenhang mit Kolmogorows erstem Gesetz der großen Zahlen

Ausgehend von dem Satz von Mourier ergibt sich die Frage, ob und inwieweit auch Kolmogorows erstes Gesetz der großen Zahlen auf Folgen von Zufallselementen in normierten Vektorräumen auszudehnen ist. Wie sich zeigen lässt, ist diese Ausdehnung zumindest immer im Falle der separablen Hilberträume möglich. Es gilt nämlich der folgende Satz:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )$, ein separabler $\mathbb {R}$-Hilbertraum $H=(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle ,{\|{\cdot }\|})$ und eine Folge

${\xi }_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to H\;(n\in \mathbb {N} )$

von Pettis-integrierbaren Zufallselementen in $H$.

Die Folge sei stochastisch unabhängig und es gelte

$\sum _{n=1}^{\infty }\;{\frac {\operatorname {E} {\bigl (}{\|{\xi }_{n}-\operatorname {E} ({\xi }_{n})\|}^{2}{\bigr )}}{n^{2}}}<{\infty }$   .

Dann genügt die Folge der Bedingung

$\operatorname {P} \left(\lim _{n\to \infty }{\frac {\|\sum _{j=1}^{n}{{\bigl (}{\xi }_{j}-{\operatorname {E} ({\xi }_{j})}{\bigr )}\|}}{n}}=0\right)=1$

und damit dem starken Gesetz der großen Zahlen.

Quellen und Hintergrundliteratur

• P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Hochschultext. Band 91). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1977, ISBN 3-540-08418-5. MR0501219
• R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York (u. a.) 1979, ISBN 0-471-03262-X.  MR0534143
• Michel Ledoux, Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces. Isoperimetry and Processes (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). Band 23). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1991, ISBN 3-540-52013-9.  MR1102015
• Édith Mourier: Eléments aléatoires dans un espace de Banach. In: Annales de l'Institut Henri Poincaré. Band 13, 1953, S. 161–244.  MR0064339
• Pál Révész: Die Gesetze der grossen Zahlen (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 35). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1968.  MR0245080
• N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces (= Mathematics and its Applications (Soviet Series). Band 14). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Boston, Lancaster, Tokio 1987, ISBN 90-277-2496-2.