Der Satz von Platonow ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Gruppentheorie. Aus ihm folgen der Satz von Malcev und das Lemma von Selberg. Er wurde von Wladimir Petrowitsch Platonow bewiesen.

Definitionen

Bearbeiten

Es sei   eine Primzahl. Eine  -Gruppe ist eine Gruppe  , in der die Ordnung jedes Elements eine Potenz von   ist.

Eine residuell  -endliche Gruppe ist eine Gruppe  , in der es zu jedem Element   einen surjektiven Gruppenhomomorphismus   auf eine endliche  -Gruppe   gibt mit  , wobei   das neutrale Element bezeichnet.

Eine virtuell residuell  -endliche Gruppe ist eine Gruppe  , die eine Untergruppe   von endlichem Index enthält, die residuell  -endlich ist.

Satz von Platonow

Bearbeiten

Es sei   ein Körper und   eine endlich erzeugte Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe.

Wenn die Charakteristik   eine Primzahl ist, dann ist   eine virtuell residuell  -endliche Gruppe.

Wenn   ist, dann ist   eine virtuell residuell  -endliche Gruppe für fast alle Primzahlen  .

Anwendungen

Bearbeiten

Aus dem Satz von Platonow folgen zwei grundlegende und häufig verwendete Eigenschaften endlich erzeugter Matrixgruppen, nämlich der Satz von Malcev (endlich erzeugte Untergruppen von   sind residuell endlich) und das Lemma von Selberg (endlich erzeugte Untergruppen von   sind virtuell torsionsfrei).

Literatur

Bearbeiten
  • V. P. Platonov: A certain problem for finitely generated groups. (russisch) Dokl. Akad. Nauk BSSR 12 (1968) 492–494.
  • B. A. F. Wehrfritz: Infinite linear groups. An account of the group-theoretic properties of infinite groups of matrices. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 76. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.
Bearbeiten