Der Satz von Steinhaus ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Maßtheorie, der auf eine Arbeit des polnischen Mathematikers Hugo Steinhaus im ersten Band der Fundamenta Mathematicae (1920) zurückgeht. Er behandelt eine grundlegende topologische Eigenschaft der Lebesgue-messbaren Teilmengen des -dimensionalen reellen Koordinatenraums .[1]

Formulierung des Satzes

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Der Satz von Steinhaus besagt:[1]

Bildet man für eine Lebesgue-messbare Teilmenge   mit Lebesgue-Maß   die Menge aller aus zwei Elementen von   bildbaren Differenzen, so ist die dadurch gegebene Menge   stets eine Umgebung der  .
Mit anderen Worten:
Unter den genannten Bedingungen gibt es immer eine offene Vollkugel  .

Folgerungen: Zwei Sätze von Sierpiński

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Auf den Satz von Steinhaus können zwei Sätze des polnischen Mathematikers Wacław Sierpiński über Hamel-Basen von   als Vektorraum über dem Körper der rationalen Zahlen   zurückgeführt werden. Sie lassen sich angeben wie folgt:[2]

Gegeben sei eine Hamel-Basis   des  -Vektorraums  .
Dann gilt:
(1) Ist   Lebesgue-messbar in  , so ist   eine lebesguesche Nullmenge, also vom Lebesgue-Maß   .
(2) Ist   eine nichtleere und höchstens abzählbare Teilmenge von   und ist   die  -lineare Hülle von   , so ist   eine nicht Lebesgue-messbare Teilmenge von  .

Zum Beweis der beiden Folgerungen

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An Jürgen Elstrodt anschließend lässt sich ein Beweis für (1) wie folgt führen:[2]

Sofern eine solche Hamel-Basis   als Lebesgue-messbar mit Lebesgue-Maß   vorausgesetzt wird, ergibt sich ein Widerspruch.
Da nämlich eine solche Hamel-Basis   nicht die leere Menge ist, lässt sich ein   auswählen und damit die reelle Nullfolge   bilden.
Nun kommt zum Tragen, dass dann jedoch nach dem Satz von Steinhaus   eine Nullumgebung sein muss, weswegen fast alle Glieder der Nullfolge darin enthalten sein müssen.
Also gibt es auch eine natürliche Zahl   und dazu zwei verschiedene  , für die
 
gilt.
Das aber bedeutet, dass auch
 
gilt.
Damit hat man eine nichttriviale Darstellung der   als Linearkombination von Elementen aus   mit Koeffizienten aus  , was unvereinbar mit der Voraussetzung ist, dass   eine Hamel-Basis von   über   sein soll.
Daher kann eine solche Lebesgue-messbare Hamel-Basis   einzig und allein eine lebesguesche Nullmenge sein.

Der Beweis von (2) geht ähnlich und beruht auf der Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes und der Tatsache, dass stets   gilt.

Anmerkungen

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  • Laut Jürgen Elstrodt bekräftigt der Satz die intuitive Vorstellung, jede Lebesgue-messbare Teilmenge des   sei näherungsweise einer offenen Menge gleich. Hier gilt sogar, dass die Lebesgue-messbaren Teilmengen   des   die folgende charakteristische Eigenschaft aufweisen:[1]
Zu einer vorgegebenen Schranke   gibt es im   stets eine offene Menge   sowie eine abgeschlossene Menge   mit
  und  .
  • Wie man der von Karl Stromberg in den Proceedings of the American Mathematical Society von 1972 gelieferten Note entnimmt, gibt es zu dem Satz eine Verallgemeinerung auf lokalkompakte Gruppen mit haarschem Maß, welche ebenfalls Satz von Steinhaus (englisch Steinhaus Theorem) genannt wird und deren Formulierung auf den französischen Mathematiker André Weil zurückgeht.
  • Zu den Hamel-Basen von   über   ist noch weit mehr bekannt. So lässt sich etwa zeigen, dass eine solche Hamel-Basis   niemals eine Borel-Menge von   sein kann.[2]
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg (u.   a.) 2011, ISBN 978-3-642-17904-4.
  • Hugo Steinhaus: Sur les distances des points dans les ensembles de mesure positive. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1, 1920, S. 93–104 (Online [PDF]).
  • Karl Stromberg: An Elementary Proof of Steinhaus's Theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 36, 1972, S. 308, JSTOR:2039082 (MR0308368).

Einzelnachweise

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  1. a b c Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 67–68
  2. a b c Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 99–100