Schafarewitsch-Vermutung

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In der Mathematik ist die Schafarewitsch-Vermutung eine 1983 von Gerd Faltings bewiesene Vermutung aus der arithmetischen Geometrie. Sie wurde ursprünglich von Schafarewitsch auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1962 in Stockholm aufgestellt und für hyperelliptische Kurven bewiesen.

Die Schafarewitsch-Vermutung besagt, dass es für einen Zahlkörper   und eine endliche Menge von Primidealen   im Ganzheitsring   nur endlich viele Kurven gegebenen Geschlechts   gibt, deren Néron-Modelle modulo der Ideale in   schlechte Reduktion haben, d. h. nach Reduktion algebraische Kurven mit Singularitäten sind.

Durch Übergang zur Jacobi-Varietät und Verwendung des Satzes von Torelli ist die Vermutung äquivalent zu der Vermutung, dass es nur endlich viele  -dimensionale, prinzipal polarisierte, abelsche Varietäten mit schlechter Reduktion modulo der Ideale in   gibt.

Beispiele

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Für   besagt die Schafarewitsch-Vermutung, dass es nur endlich viele elliptische Kurven über   gibt, deren Néron-Modelle bezüglich Primzahlen in   schlechte Reduktion haben. Tatsächlich sind Néron-Modelle elliptischer Kurven durch eine Gleichung   gegeben und sie haben nur dann schlechte Reduktion modulo  , wenn   und   nur durch die Primzahlen in   teilbar sind. Dies ist zu einer gegebenen Menge   nur für endlich viele   der Fall.

Anwendungen

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Aus der Schafarewitsch-Vermutung folgt mit Arbeiten von Alexei Nikolajewitsch Parschin die Mordell-Vermutung: eine algebraische Kurve vom Geschlecht   über einem Zahlkörper hat nur endlich viele rationale Punkte.

Die Schafarewitsch-Vermutung für Funktionenkörper wurde in Charakteristik Null 1971 von Arakelow und in positiver Charakteristik 1978 von Szpiro bewiesen.

Literatur

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  • I. R. Shafarevich: Algebraic number fields, Transl. AMS 31, 25–39 (1963)
  • A. N. Parshin: Algebraic curves over function fields I, Math. USSR Izv. 2, 1145–1170 (1968)
  • S. Arakelov: Families of curves with fixed degenracies, Math. USSR Izv. 5, 1277–1302 (1979)
  • L. Szpiro: Sur le théorème de rigidité de Parsin er Arakelov, Asterisque 164, 169–202 (1979)
  • G. Faltings: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern, Inv. Math. 73, 349–366 (1983)