Sektorieller Operator

Ein sektorieller Operator (englisch sectorial operator) ist in der Operatortheorie ein linearer Operator auf einem Banach-Raum, dessen Spektrum in einem offenen Sektor in der komplexen Ebene liegt und dessen Resolvente außerhalb jedes größeren Sektors gleichmäßig nach oben beschränkt ist. Die Operatoren können unbeschränkt sein.

Sektorielle Operatoren finden Anwendungen in der Theorie der elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen.

Sei $(X,\|\cdot \|)$ ein Banach-Raum. Weiter sei $A$ ein (nicht-unbedingt beschränkter) linearer Operator auf $X$ und $\sigma (A)$ sein Spektrum.

Wir definieren für den Winkel $0<\omega \leq \pi$ den offenen Sektor

\Sigma _{\omega }:=\{z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}:|\operatorname {arg} z|<\omega \}

und den Spezialfall $\Sigma _{0}:=(0,\infty )$ für $\omega =0$ .

Fixiere nun einen Winkel $\omega \in [0,\pi )$ .

Der Operator $A$ heißt sektoriell mit Winkel $\omega$ falls^[1]

\sigma (A)\subset {\overline {\Sigma _{\omega }}}

und für alle größeren Winkel $\psi \in (\omega ,\pi )$

\sup \limits _{\lambda \in \mathbb {C} \setminus {\overline {\Sigma _{\psi }}}}|\lambda |\|(\lambda -A)^{-1}\|<\infty

gilt.

Die Menge der sektoriellen Operatoren zum Winkel $\omega$ notieren wir mit $\operatorname {Sect} (\omega )$ .

Für $\omega \neq 0$ ist $\Sigma _{\omega }$ offen und symmetrisch über der positiven reellen Achse mit Öffnungswinkel $2\omega$ .

Literatur

Markus Haase: The Functional Calculus for Sectorial Operators. Hrsg.: Birkhäuser Basel (= Operator Theory: Advances and Applications. Band 169). 2010, ISBN 978-3-7643-7697-0, doi:10.1007/3-7643-7698-8 (englisch).
Atsushi Yagi: Sectorial Operators. In: Springer, Berlin, Heidelberg (Hrsg.): Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications (= Springer Monographs in Mathematics). 2010, doi:10.1007/978-3-642-04631-5_2 (englisch).
Markus Haase: The Functional Calculus for Sectorial Operators and Similarity Methods. Hrsg.: Universität Ulm. 2003 (englisch, Doktorarbeit).

↑ Markus Haase: The Functional Calculus for Sectorial Operators. Hrsg.: Birkhäuser Basel (= Operator Theory: Advances and Applications. Band 169). ISBN 978-3-7643-7697-0, S. 19, doi:10.1007/3-7643-7698-8.