Eine stark stetige Gruppe ist eine Familie von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum in sich und ist ein Spezialfall einer stark stetigen Halbgruppe. Stark stetige Gruppen werden bei der Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen angewandt, die einen reversiblen Vorgang beschreiben.

Definition

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Seien   ein Banachraum und   eine Familie beschränkter linearer Operatoren   für  . Gilt

  •  ,
  •   für alle   und
  •   für alle  ,

wird diese Familie stark stetige Gruppe genannt.

Infinitesimaler Erzeuger

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Der (infinitesimale) Erzeuger   ist gegeben durch

 

und

  für  .

Folgerungen

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  • Erzeugen   eine stark stetige Halbgruppe   mit   und   eine stark stetige Halbgruppe   mit   für ein  ,   und alle  .
So ist   der Erzeuger einer stark stetigen Gruppe   mit   für  ,   für   und   für  .
  • Sei   ein dicht definierter, abgeschlossener Operator und es existiere   und  , so dass   und   für alle   und alle  .
Dann erzeugt   eine stark stetige Gruppe   mit   für alle  . Hierbei stehen   für die Resolvente und   für die Resolventenmenge von  .

Satz von Stone

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Marshall Harvey Stone veröffentlichte 1932 in den Annals of Mathematics folgenden Satz: Seien   ein Hilbertraum und   eine stark stetige Gruppe, wobei   für alle   unitär ist. Dann existiert ein selbstadjungierter Operator  , so dass   der Erzeuger von   ist. Umgekehrt erzeugt   für jeden selbstadjungierten Operator   eine stark stetige Gruppe aus unitären Operatoren.

Literatur

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  • Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York NY 2000, ISBN 0-387-98463-1 (Graduate Texts in Mathematics 194).
  • Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Corrected printing of the 2nd edition. Springer, Berlin 1980, ISBN 0-387-07558-5 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 132), (Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58661-X (Classics in mathematics)).
  • Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 3-540-90845-5 (Applied Mathematical Sciences 44).