Stark stetige Gruppe

Eine stark stetige Gruppe ist eine Familie $(T(t))_{t\in \mathbb {R} }$ von beschränkten linearen Operatoren von einem reellen oder komplexen Banachraum $X$ in sich und ist ein Spezialfall einer stark stetigen Halbgruppe. Stark stetige Gruppen werden bei der Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen angewandt, die einen reversiblen Vorgang beschreiben.

Definition

Seien $X$ ein Banachraum und $T=(T(t))_{t\in \mathbb {R} }$ eine Familie beschränkter linearer Operatoren $T(t):X\rightarrow X$ für $t\in \mathbb {R}$. Gilt

• $T(0)=I$,
• $T(s+t)=T(s)T(t)$ für alle $s,t\in \mathbb {R}$ und
• $\lim _{t\rightarrow 0}T(t)x=x$ für alle $x\in X$,

wird diese Familie stark stetige Gruppe genannt.

Infinitesimaler Erzeuger

Der (infinitesimale) Erzeuger $(A,D(A))$ ist gegeben durch

$D(A):=\left\{x\in X:\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {T(h)x-x}{h}}\ \mathrm {existiert} \right\}$

und

$Ax:=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {T(h)x-x}{h}}$ für $x\in D(A)$.

Folgerungen

• Erzeugen $(A,D(A))$ eine stark stetige Halbgruppe $(T_{+}(t))_{t\geq 0}$ mit $\|T_{+}(t)\|\leq Me^{\omega t}$ und $(-A,D(A))$ eine stark stetige Halbgruppe $(T_{-}(t))_{t\geq 0}$ mit $\|T_{-}(t)\|\leq Me^{\omega t}$ für ein $\omega \in \mathbb {R}$, $M>0$ und alle $t>0$.

So ist $(A,D(A))$ der Erzeuger einer stark stetigen Gruppe $(T(t))_{t\geq 0}$ mit $T(t)=T_{+}(t)$ für $t\geq 0$, $T(t)=T_{-}(-t)$ für $t<0$ und $\|T(t)\|\leq Me^{\omega |t|}$ für $t\in \mathbb {R}$.

• Sei $(A,D(A))$ ein dicht definierter, abgeschlossener Operator und es existiere $\omega \in \mathbb {R}$ und $M>0$, so dass $(\omega ,\infty )\cup (-\infty ,-\omega )\subset \rho (A)$ und $\|((|\lambda |-\omega )R(\lambda ,A))^{n}\|\leq M$ für alle $\lambda >\omega ,\lambda <-\omega$ und alle $n\in \mathbb {N}$.

Dann erzeugt $(A,D(A))$ eine stark stetige Gruppe $(T(t))_{t\in \mathbb {R} }$ mit $\|T(t)\|\leq Me^{\omega |t|}$ für alle $t\in \mathbb {R}$. Hierbei stehen $R(\lambda ,A)$ für die Resolvente und $\rho (A)$ für die Resolventenmenge von $A$.

Satz von Stone

Marshall Harvey Stone veröffentlichte 1932 in den Annals of Mathematics folgenden Satz: Seien $X$ ein Hilbertraum und $T$ eine stark stetige Gruppe, wobei $T(t)$ für alle $t\in \mathbb {R}$ unitär ist. Dann existiert ein selbstadjungierter Operator $A$, so dass $iA$ der Erzeuger von $T$ ist. Umgekehrt erzeugt $iA$ für jeden selbstadjungierten Operator $A$ eine stark stetige Gruppe aus unitären Operatoren.

Literatur

• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York NY 2000, ISBN 0-387-98463-1 (Graduate Texts in Mathematics 194).
• Tosio Kato: Perturbation Theory for Linear Operators. Corrected printing of the 2nd edition. Springer, Berlin 1980, ISBN 0-387-07558-5 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen 132), (Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58661-X (Classics in mathematics)).
• Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1983, ISBN 3-540-90845-5 (Applied Mathematical Sciences 44).