Strukturkonstante

Strukturkonstanten enthalten in der Mathematik die gesamten Informationen einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra und somit insbesondere alle lokalen Informationen jeder ihr zugeordneten Lie-Gruppe.

Definition

Sei $V$ eine endlichdimensionale Lie-Algebra mit der Lie-Klammer $[\cdot ,\cdot ]$ und sei $\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ eine Vektorraumbasis dieser Lie-Algebra. Da in Vektorräumen jedes Element als Linearkombination bezüglich einer Basis darstellbar ist, existiert für alle $i,j\in {1,\ldots n}$ die Zerlegung

$[x_{i},x_{j}]=\sum _{k=1}^{n}c_{ij}^{k}x_{k}$

der Lie-Klammer der Lie-Algebra. Die $n^{3}$ Konstanten $c_{ij}^{k}\in \mathbb {C}$ (d. h. aus der Menge der komplexen Zahlen) heißen Strukturkonstanten der Lie-Algebra.

Eigenschaften

• Antisymmetrie

Die Strukturkonstanten sind aufgrund der Antisymmetrie der Lie-Klammer antisymmetrisch in den unteren Indizes;

$c_{ij}^{k}=-c_{ji}^{k}$

Daraus folgt für Strukturkonstanten mit identischen unteren Indizes $c_{ii}^{k}=0$.

• Jacobi-Identität

Aufgrund der Jacobi-Identität für die Lie-Klammer folgt eine Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten:

$\sum _{l=1}^{n}\left(c_{il}^{m}c_{jk}^{l}+c_{jl}^{m}c_{ki}^{l}+c_{kl}^{m}c_{ij}^{l}\right)=0$

• Tensorstruktur

Die Strukturkonstanten sind $(2,1)$-Tensoren. Das heißt, bei einem Basiswechsel $\textstyle x_{i}\to x_{i}'=\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{j}x_{j}$ gilt:

$\sum _{k=1}^{n}{c'}_{ij}^{k}a_{k}^{l}=\sum _{r,s=1}^{n}c_{rs}^{l}a_{i}^{r}a_{j}^{s}$

Beispiel

Als Beispiel für Strukturkonstanten sei die in der Physik wichtige Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}(2)$ in der Basis der Pauli-Matrizen $\sigma _{i},i=1,2,3$ gegeben. Die Lie-Klammer in dieser Darstellung ist der Kommutator und es gilt

$[\sigma _{i},\sigma _{j}]=\sum _{k=1}^{3}2\mathrm {i} \varepsilon _{ij}^{k}\sigma _{k}$

mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol $\varepsilon _{ij}^{k}$.

Literatur

• Manfred Böhm: Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-20378-7, S. 179–180. 
• Hans Samelson: Notes on Lie Algebras. Springer, New York 1990, ISBN 978-0-387-97264-0, S. 5.