Thurston-Bennequin-Invariante

In der Kontaktgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik ist die Thurston-Bennequin-Zahl oder Thurston-Bennequin-Invariante eine Invariante von Legendre-Knoten.

Definition

Sei $(M,\xi )$ eine Kontaktmannigfaltigkeit und $L\subset M$ ein Legendre-Knoten.

Sei $\nu$ das Normalenbündel des Legendre-Knotens und $\xi$ das durch die Kontaktstruktur gegebene Ebenenfeld. Der Durchschnitt $l=\nu \cap \xi$ ist ein Geradenbündel. Durch Verschiebung entlang eines (beliebigen) Vektorfeldes $v\in l$ erhält man einen neuen Knoten $L^{\prime }$. Die Thurston-Bennequin-Invariante ist definiert als die Verschlingungszahl von $L$ und $L^{\prime }$:

$\beta (L):=lk(L,L^{\prime }).$

Formeln für Rotationszahl und Thurston-Bennequin-Invariante eines Legendre-Knotens in Frontprojektion

In der Frontprojektion kann man die Thurston-Bennequin-Invariante berechnen als

$\beta (L)=\sum _{a\in U}sign(a)-{\frac {1}{2}}\sharp C$,

wobei $U$ die Menge der Überkreuzungspunkte und $C$ die Menge der Cusp-Singularitäten ist.