Topologische Kategorie

Eine topologische Kategorie (auch topologisch angereicherte Kategorie) ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine über der Kategorie der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien, Segal-Räume und Segal-Kategorien.

Definition

Eine topologische Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist eine lokal kleine über der Kategorie $\mathbf {cgHaus}$ der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie, also vereinfacht dass für alle Objekte $X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}$ die Hom-Mengen $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ jeweils kompakt generierte Hausdorff-Räume sind (also in $\operatorname {Ob} \mathbf {cgHaus}$ liegen) und die durch Komposition auf diesen induzierte Morphismen stetig sind (also in $\operatorname {Ar} \mathbf {cgHaus}$ liegen). Die (nicht mehr lokal kleine) Kategorie der topologischen Kategorien wird als $\mathbf {Cat} _{\mathbf {cgHaus} }$ notiert.

Beispiele

• $\mathbf {cgHaus}$ ist selbst eine topologische Kategorie. Deren interner Hom-Funktor ist für topologische Räume $X,Y\in \operatorname {Ob} \mathbf {cgHaus}$ gegeben durch die Kompakt-Offen-Topologie:

  $\mathbf {Hom} _{\mathbf {cgHaus} }(Y,Z):=C_{\mathrm {co} }(Y,Z).$

Verbindung zu simplizial angereicherten Kategorien

Sei $\mathbf {sSet}$ die Kategorie der simplizialen Mengen, dann bilden die geometrische Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {cgHaus}$ und der singuläre Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {cgHaus} \rightarrow \mathbf {sSet}$ eine Adjunktion $|-|\colon \mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {cgHaus} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$. Beide Funktoren können auch auf sämtliche Hom-Mengen einer entsprechend angereicherten Kategorie angewendet werden. Eine simplizial angereicherte Kategorie ${\mathcal {C}}$ erzeugt damit eine topologische Kategorie $|{\mathcal {C}}|$ durch:

$\forall X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{|{\mathcal {C}}|}(X,Y):=|\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)|.$

Eine topologische Kategorie ${\mathcal {C}}$ erzeugt damit eine simplizial angereicherte Kategorie $\operatorname {Sing} ({\mathcal {C}})$ durch:

$\forall X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{\operatorname {Sing} ({\mathcal {C}})}(X,Y):=\operatorname {Sing} (\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)).$

Dadurch ergeben sich induzierte Funktoren und eine induzierte Adjunktion $|-|\colon \mathbf {Cat} _{\mathbf {sSet} }\leftrightarrows \mathbf {Cat} _{\mathbf {cgHaus} }\colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Homotopiekategorie einer topologischen Kategorie

Die Homotopiekategorie einer topologischen Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist die Kategorie $\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})$ mit:

$\operatorname {Ob} \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})=\operatorname {Ob} {\mathcal {C}}$

$\forall X,Y\in \operatorname {Ob} \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})=\operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})}(X,Y)=\pi _{0}\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\cong \pi _{0}\operatorname {Sing} (\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y))$

Dabei sind $\pi _{0}\colon \mathbf {cgHaus} \rightarrow \mathbf {Set}$ die Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen Raumes und $\pi _{0}\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Set}$ die Zusammenhangskomponenten einer simplizialen Menge, wobei $\pi _{0}=\pi _{0}\circ \operatorname {Sing}$.

Zusammen mit der Homotopiekategorie einer simplizial angereicherten Kategorie ist diese Operation verträglich mit den obigen Umwandlungen von topologischen und simplizial angereicherten Kategorien ineinander: Für eine topologische Kategorie ${\mathcal {C}}$ gibt es also einen kanonischen Isomorphismus $\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})\cong \operatorname {Ho} (\operatorname {Sing} ({\mathcal {C}}))$ und für eine simplizial angereicherte Kategorie ${\mathcal {C}}$ einen kanonischen Isomorphismus $\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})\cong \operatorname {Ho} (|{\mathcal {C}}|)$.

Literatur

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory. Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14049-0 (englisch, mit.edu [PDF]). 
• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Weblinks

• topologically enriched category auf nLab (englisch)
• Jacob Lurie, Kerodon (ergänzter Inhalt von Higher Topos Theory)