Unberührbare Zahl

In der Zahlentheorie ist eine unberührbare Zahl (vom englischen untouchable number) eine positive ganze Zahl $n\in \mathbb {N}$, die nicht als Summe aller echten Teiler $\sigma ^{*}(k)$ irgendeiner positiven ganzen Zahl $k\in \mathbb {N}$ dargestellt werden kann (inklusive der unberührbaren Zahl selbst). Diese Zahlen kommen somit in keinen Inhaltsketten vor. Sie wurden erstmals von ʿAbd al-Qāhir al-Baghdādī (etwa im Jahr 1000) untersucht, der bemerkt hat, dass die beiden Zahlen 2 und 5 unberührbar sind.

Von jeder positiven ganzen Zahl weist ein Pfeil auf die Summe ihrer echten Teiler (9 hat zum Beispiel nur die echten Teiler 1 und 3; 1+3=4, also zeigt ein Pfeil von 9 auf 4). Auf 2 und 5 gibt es keinen Pfeil, sie sind unberührbar.

Beispiele

• Die Zahl $n=5$ ist eine unberührbare Zahl.

Beweis:

Man muss zeigen, dass $n=5$ nicht als Summe der echten Teiler irgendeiner Zahl $k\in \mathbb {N}$ dargestellt werden kann.

In einer echten Teilersumme $\sigma ^{*}(k)$ kommt kein Teiler mehrmals vor. Es gibt nur zwei Möglichkeiten, die Zahl 5 additiv mit verschiedenen Zahlen darzustellen: $5=1+4=2+3$. Die zweite Darstellung $5=2+3$ ist keine Teilersumme, weil die Zahl 1 fehlt, die immer in jeder Teilersumme enthalten sein muss. Die erste Darstellung kommt als Teilersumme auch nicht in Frage, weil wenn eine Zahl die Teiler 1 und 4 hat, sie auch die Zahl 2 als Teiler haben muss und somit ihre Teilersumme mindestens $1+2+4=7\not =5$ sein muss. Somit bleibt keine Möglichkeit übrig, dass es ein $k\in \mathbb {N}$ gibt, sodass $\sigma ^{*}(k)=5$ ist. Die Zahl 5 ist somit eine unberührbare Zahl. $\Box$

• Die Zahl $n=4$ ist keine unberührbare Zahl.

Beweis:

Man muss zeigen, dass $n=4$ die Summe der echten Teiler irgendeiner Zahl $k\in \mathbb {N}$ ist.

Es ist $4=1+3$. Es gibt eine Zahl, die nur die Zahlen 1 und 3 als echte Teiler hat, nämlich die Zahl $k=9$. Somit ist ihre Teilersumme $\sigma ^{*}(9)=1+3=4$, womit die Zahl 4 keine unberührbare Zahl ist. $\Box$

• Die folgenden Zahlen sind die kleinsten unberührbaren Zahlen:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, … (Folge A005114 in OEIS)

Eigenschaften

• Perfekte Zahlen sind niemals unberührbare Zahlen.
  Beweis:
  • Sei $n\in \mathbb {N}$ eine perfekte Zahl. Perfekte Zahlen haben die Eigenschaft, dass sie gleich ihrer echten Teilersumme sind. Es gilt also $\sigma ^{*}(n)=n$. Somit existiert eine Zahl, deren echte Teilersumme gleich $n$ ist. Somit ist $n$ keine unberührbare Zahl. $\Box$
• Befreundete Zahlen sind niemals unberührbare Zahlen.
  Beweis:
  • Seien $n_{1},n_{2}\in \mathbb {N}$ zwei befreundete Zahlen. Befreundete Zahlen haben die Eigenschaft, dass die eine Zahl $n_{1}$ gleich der echten Teilersumme der anderen Zahl $n_{2}$ ist und umgekehrt. Es gilt also $\sigma ^{*}(n_{1})=n_{2}$ und $\sigma ^{*}(n_{2})=n_{1}$. Somit existiert für jede der beiden Zahlen $n_{1}$ und $n_{2}$ eine echte Teilersumme, die gleich $n_{1}$ bzw. $n_{2}$ ist. Somit sind $n_{1}$ und $n_{2}$ keine unberührbaren Zahlen. $\Box$
• Gesellige Zahlen sind niemals unberührbare Zahlen.
  Beweis:
  • Seien $n_{1},n_{2},\ldots n_{k}\in \mathbb {N}$ mit $k\in \mathbb {N} ,k\geq 3$ gesellige Zahlen. Gesellige Zahlen haben die Eigenschaft, dass die echte Teilersumme der $i$-ten Zahl $n_{i}$ gleich $n_{i+1}$ ist (mit $i=1,2,\ldots k-1$). Es gilt also $\sigma ^{*}(n_{i})=n_{i+1}$ und $\sigma ^{*}(n_{k})=n_{1}$. Somit existiert für jede der $k$ Zahlen $n_{1},n_{2},\ldots n_{k}$ eine echte Teilersumme, die gleich $n_{1},n_{2},\ldots n_{k}$ ist. Somit sind $n_{1},n_{2},\ldots n_{k}$ keine unberührbaren Zahlen. $\Box$
• Sei $p\in \mathbb {P}$ eine Primzahl und $n=p+1$ eine Zahl, die um 1 größer ist als eine Primzahl. Dann gilt:
  $n$ ist keine unberührbare Zahl.
  Beweis:
  • Weil $p\in \mathbb {P}$ eine Primzahl ist, hat $p^{2}$ nur die echten Teiler $1$ und $p$. Somit gilt für die echte Teilersumme $\sigma ^{*}(p^{2})=1+p$. Also kann $n=p+1$ niemals eine unberührbare Zahl sein, weil es eine Zahl $k=p^{2}$ gibt, deren echte Teilersumme gleich $n$ ist. $\Box$
• Sei $p\in \mathbb {P}$ eine ungerade Primzahl und $n=p+3$ eine Zahl, die um 3 größer ist als eine Primzahl. Dann gilt:
  $n$ ist keine unberührbare Zahl.
  Beweis:
  • Sei $p\in \mathbb {P}$ eine ungerade Primzahl. Dann hat $2p$ nur die echten Teiler $1,2$ und $p$. Somit gilt für die echte Teilersumme $\sigma ^{*}(2p)=1+2+p=p+3$. Also kann $n=p+3$ niemals eine unberührbare Zahl sein, weil es eine Zahl $k=2p$ gibt, deren echte Teilersumme gleich $n$ ist. $\Box$
• Es gibt unendlich viele unberührbare Zahlen. Ihre asymptotische Dichte beträgt mindestens $d>0{,}06$
  Beweis: von Paul Erdős und von Chen & Zhao

Ungelöste Probleme

• Es wird vermutet, dass die Zahl $n=5$ die einzige ungerade unberührbare Zahl ist.
  • Dies würde aus der starken Goldbachschen Vermutung folgen, wenn sie bewiesen wäre:
    Eine Zahl $k=p\cdot q$ (mit Primzahlen $p,q\in \mathbb {P}$, $p\not =q$) hat nur die echten Teiler $1,p$ und $q$. Somit ist die Summe ihrer echten Teiler $\sigma ^{*}(k)=1+p+q$. Wenn jede gerade Zahl $n>6$ als Summe zweier verschiedener Primzahlen $p+q$ dargestellt werden kann (genau das ist die Aussage der starken Goldbachschen Vermutung), dann ist jede ungerade Zahl $1+p+q>7$ keine unberührbare Zahl, weil sie die Teilersumme der Zahl $k=p\cdot q$ (mit den echten Teilern $1,p$ und $q$) ist. Weiters ist $1=\sigma ^{*}(2)=1$, $3=\sigma ^{*}(4)=1+2$ und $7=\sigma ^{*}(8)=1+2+4$. Somit kann nur $n=5$ eine ungerade unberührbare Zahl sein. $\Box$
• Es wird vermutet, dass alle unberührbaren Zahlen außer 2 und 5 zusammengesetzte Zahlen sind.
  • Dies würde unmittelbar aus der obigen Behauptung folgen, zumal diese aussagt, dass außer der Zahl 5 nur gerade Zahlen unberührbare Zahlen sein können. Gerade Zahlen, die ungleich 2 sind, sind aber immer zusammengesetzt. $\Box$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Untouchable Number. In: MathWorld (englisch).