In der Zahlentheorie ist eine unberührbare Zahl (vom englischen untouchable number) eine positive ganze Zahl , die nicht als Summe aller echten Teiler irgendeiner positiven ganzen Zahl dargestellt werden kann (inklusive der unberührbaren Zahl selbst). Diese Zahlen kommen somit in keinen Inhaltsketten vor. Sie wurden erstmals von ʿAbd al-Qāhir al-Baghdādī (etwa im Jahr 1000) untersucht, der bemerkt hat, dass die beiden Zahlen 2 und 5 unberührbar sind.[1]

Von jeder positiven ganzen Zahl weist ein Pfeil auf die Summe ihrer echten Teiler (9 hat zum Beispiel nur die echten Teiler 1 und 3; 1+3=4, also zeigt ein Pfeil von 9 auf 4). Auf 2 und 5 gibt es keinen Pfeil, sie sind unberührbar.

Beispiele

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  • Die Zahl   ist eine unberührbare Zahl.
Beweis:
Man muss zeigen, dass   nicht als Summe der echten Teiler irgendeiner Zahl   dargestellt werden kann.
In einer echten Teilersumme   kommt kein Teiler mehrmals vor. Es gibt nur zwei Möglichkeiten, die Zahl 5 additiv mit verschiedenen Zahlen darzustellen:  . Die zweite Darstellung   ist keine Teilersumme, weil die Zahl 1 fehlt, die immer in jeder Teilersumme enthalten sein muss. Die erste Darstellung kommt als Teilersumme auch nicht in Frage, weil wenn eine Zahl die Teiler 1 und 4 hat, sie auch die Zahl 2 als Teiler haben muss und somit ihre Teilersumme mindestens   sein muss. Somit bleibt keine Möglichkeit übrig, dass es ein   gibt, sodass   ist. Die Zahl 5 ist somit eine unberührbare Zahl.  
  • Die Zahl   ist keine unberührbare Zahl.
Beweis:
Man muss zeigen, dass   die Summe der echten Teiler irgendeiner Zahl   ist.
Es ist  . Es gibt eine Zahl, die nur die Zahlen 1 und 3 als echte Teiler hat, nämlich die Zahl  . Somit ist ihre Teilersumme  , womit die Zahl 4 keine unberührbare Zahl ist.  
  • Die folgenden Zahlen sind die kleinsten unberührbaren Zahlen:
2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, … (Folge A005114 in OEIS)

Eigenschaften

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  • Perfekte Zahlen sind niemals unberührbare Zahlen.
    Beweis:
    • Sei   eine perfekte Zahl. Perfekte Zahlen haben die Eigenschaft, dass sie gleich ihrer echten Teilersumme sind. Es gilt also  . Somit existiert eine Zahl, deren echte Teilersumme gleich   ist. Somit ist   keine unberührbare Zahl.  
  • Befreundete Zahlen sind niemals unberührbare Zahlen.
    Beweis:
    • Seien   zwei befreundete Zahlen. Befreundete Zahlen haben die Eigenschaft, dass die eine Zahl   gleich der echten Teilersumme der anderen Zahl   ist und umgekehrt. Es gilt also   und  . Somit existiert für jede der beiden Zahlen   und   eine echte Teilersumme, die gleich   bzw.   ist. Somit sind   und   keine unberührbaren Zahlen.  
  • Gesellige Zahlen sind niemals unberührbare Zahlen.
    Beweis:
    • Seien   mit   gesellige Zahlen. Gesellige Zahlen haben die Eigenschaft, dass die echte Teilersumme der  -ten Zahl   gleich   ist (mit  ). Es gilt also   und  . Somit existiert für jede der   Zahlen   eine echte Teilersumme, die gleich   ist. Somit sind   keine unberührbaren Zahlen.  
  • Sei   eine Primzahl und   eine Zahl, die um 1 größer ist als eine Primzahl. Dann gilt:
      ist keine unberührbare Zahl.
    Beweis:
    • Weil   eine Primzahl ist, hat   nur die echten Teiler   und  . Somit gilt für die echte Teilersumme  . Also kann   niemals eine unberührbare Zahl sein, weil es eine Zahl   gibt, deren echte Teilersumme gleich   ist.  
  • Sei   eine ungerade Primzahl und   eine Zahl, die um 3 größer ist als eine Primzahl. Dann gilt:
      ist keine unberührbare Zahl.
    Beweis:
    • Sei   eine ungerade Primzahl. Dann hat   nur die echten Teiler   und  . Somit gilt für die echte Teilersumme  . Also kann   niemals eine unberührbare Zahl sein, weil es eine Zahl   gibt, deren echte Teilersumme gleich   ist.  
  • Es gibt unendlich viele unberührbare Zahlen. Ihre asymptotische Dichte beträgt mindestens  
    Beweis: von Paul Erdős[2] und von Chen & Zhao[3]

Ungelöste Probleme

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  • Es wird vermutet, dass die Zahl   die einzige ungerade unberührbare Zahl ist.
    • Dies würde aus der starken Goldbachschen Vermutung folgen, wenn sie bewiesen wäre:
      Eine Zahl   (mit Primzahlen  ,  ) hat nur die echten Teiler   und  . Somit ist die Summe ihrer echten Teiler  . Wenn jede gerade Zahl   als Summe zweier verschiedener Primzahlen   dargestellt werden kann (genau das ist die Aussage der starken Goldbachschen Vermutung), dann ist jede ungerade Zahl   keine unberührbare Zahl, weil sie die Teilersumme der Zahl   (mit den echten Teilern   und  ) ist. Weiters ist  ,   und  . Somit kann nur   eine ungerade unberührbare Zahl sein.[4]  
  • Es wird vermutet, dass alle unberührbaren Zahlen außer 2 und 5 zusammengesetzte Zahlen sind.
    • Dies würde unmittelbar aus der obigen Behauptung folgen, zumal diese aussagt, dass außer der Zahl 5 nur gerade Zahlen unberührbare Zahlen sein können. Gerade Zahlen, die ungleich 2 sind, sind aber immer zusammengesetzt.  
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Einzelnachweise

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  1. J. Sesiano: Two problems of number theory in Islamic times. In: Archive for History of Exact Sciences. Band 41 (3), 1991, S. 235–238 (springer.com [abgerufen am 24. November 2018]).
  2. Paul Erdős: Über die Zahlen der Form   und  . In: Elemente der Math. Band 28, 1973, S. 83–86 (emis.de [abgerufen am 24. November 2018]).
  3. Yong-Gao Chen, Qing-Qing Zhao: Nonaliquot numbers. In: Publicationes Mathematicae. Band 78 (2), Februar 2011, S. 439–442 (researchgate.net [abgerufen am 24. November 2018]).
  4. Eric W. Weisstein: Untouchable Number. In: MathWorld (englisch).