Von-Neumann-Spur

Die Von-Neumann-Spur ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere bei der Berechnung von L²-Betti-Zahlen Verwendung findet.

Definition

Für eine abzählbare Gruppe $\Gamma$ mit Gruppen-Von-Neumann-Algebra $N\Gamma \subset B(l^{2}\Gamma )$ definiert man die Von-Neumann-Spur

$tr_{\Gamma }\colon N\Gamma \to \mathbb {C}$

durch

$tr_{\Gamma }(a)=\langle e,a(e)\rangle$,

wobei $e=1\cdot e_{\Gamma }\in \mathbb {C} \Gamma \subset l^{2}\Gamma$ das neutrale Element und $\langle .,.\rangle$ das Skalarprodukt auf dem Hilbert-Modul $l^{2}\Gamma$ ist.

Eigenschaften

• Für alle $a,b\in N\Gamma$ ist $tr_{\Gamma }(ab)=tr_{\Gamma }(ba)$.
• Für $a\in N\Gamma$ und den adjungierten Operator $a^{*}$ gilt: $tr_{\Gamma }(aa^{*})=0\Longleftrightarrow a=0$.
• Wenn $\langle x,a(x)\rangle \geq 0$ für alle $x\in l^{2}\Gamma$, dann ist $tr_{\Gamma }(a)\geq 0$.

Beispiele

• Für eine endliche Gruppe $\Gamma$ ist $N\Gamma =\mathbb {C} \Gamma$ und $tr_{\Gamma }(\sum _{g\in \Gamma }a_{g}\cdot g)=a_{e}$.
• Für $\Gamma =\mathbb {Z}$ ist $N\mathbb {Z}$ via Fourier-Transformation isomorph zu $L^{\infty }(\left[-\pi ,\pi \right],\mathbb {C} )$, die Wirkung auf $l^{2}\Gamma \simeq L^{2}(\left[-\pi ,\pi \right],\mathbb {C} )$ ist durch punktweise Multiplikation, und die Von-Neumann-Spur ist $tr_{\Gamma }(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }fd\mu$.

Fortsetzung auf Matrizen

Für eine Matrix $A\in Mat(n\times n,N\Gamma )$ ist die Von-Neumann-Spur definiert durch

$tr_{\Gamma }(A)=\sum _{j=1}^{n}tr_{\Gamma }(A_{jj})$.

Literatur

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).