Waringscher Satz (Analysis)

Der Waringsche Satz ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis, der dem Mathematiker Edward Waring zugerechnet wird. Der Satz ist eng verwandt mit dem Satz von Rolle.^[1]^{[A 1]}

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen angeben:^[1]

Gegeben seien eine reelle Polynomfunktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ sowie drei reelle Zahlen $a,b,c\in \mathbb {R}$ .

Dabei soll gelten:

(I) $a<b$ .

(II) $a$ und $b$ sind Nullstellen von $f$ .

(III) Im offenen Intervall $]a,b[$ liegt keine Nullstelle von $f$ .

(IV) $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist die zugehörige Polynomfunktion mit $g(x)=f'(x)+c\cdot f(x)\;(x\in \mathbb {R} )$ .^{[A 2]}

Dann gilt:

$g$ besitzt im offenen Intervall $]a,b[$ eine ungerade Anzahl von Nullstellen und – insbesondere! – stets mindestens eine.

Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds und Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Bibliographisches Institut, Leipzig & Verlag Harri Deutsch, Leipzig & Thun / Frankfurt am Main 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 482 (MR1089881).
Franz Xaver Mayer: Eduard Warings Meditationes algebraicae. Inauguraldissertation (Universität Zürich). Überlingen (Bodensee) 1923 (WorldCat-Link).

↑ Der Artikel im Lexikon bedeutender Mathematiker (S. 482) greift wesentlich auf die genannte Dissertation von Franz Xaver Mayer zurück.
↑ Dabei steht – wie üblich – $f'$ für die zu $f$ gehörige Ableitungsfunktion, die ebenfalls eine reelle Polynomfunktion ist.

↑ ^a ^b Siegfried Gottwald et al. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. 1990, S. 482