In der Mathematik ist die Weylsche Charakterformel oder Charakterformel von Weyl eine Formel zur Berechnung des Charakters einer Darstellung aus ihrem höchsten Gewicht.

Sie wurde 1926 von Hermann Weyl bewiesen und folgt auch aus dem Atiyah-Bott-Fixpunktsatz.

Hintergrund

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Es sei   eine kompakte Lie-Gruppe und   ein maximaler Torus. Ein Gewicht einer Darstellung   ist eine Abbildung  , für die es Vektoren   mit   für alle   gibt.

Die Wahl einer Weyl-Kammer oder äquivalent eines Systems positiver Wurzeln   gibt eine Teilordnung auf den Gewichten, insbesondere kann man vom höchsten Gewicht einer Darstellung sprechen. Der Satz vom höchsten Gewicht besagt, dass es zu jedem   mit   eine eindeutige irreduzible Darstellung mit höchstem Gewicht   gibt, und dass jede irreduzible Darstellung auf diese Weise erhalten werden kann.

Insbesondere hängen die Charaktere einer Darstellung nur von ihrem höchsten Gewicht ab. Die Weylsche Charakterformel gibt eine explizite Beschreibung für diesen Zusammenhang.

Sei   eine kompakte zusammenhängende Lie-Gruppe und   ein maximaler Torus. Für ein Wurzelsystem   von   seien   die positiven Wurzeln und   die Weyl-Gruppe.

Dann gilt für den Charakter   einer irreduziblen Darstellung mit höchstem Gewicht  

 

für alle  , wobei   die durch

 

für alle   mit   eindeutig festgelegte glatte Klassenfunktion   ist.

Literatur

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  • H. Weyl: Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. III, Mathematische Zeitschrift 24 (1926), 377–395.
  • M. F. Atiyah, R. Bott: A Lefschetz fixed point theorem for elliptic complexes: II. Applications, Annals of Mathematics 88 (1968), 451–491.
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