Satz von Birkhoff-Kellogg

Der Satz von Birkhoff-Kellogg (englisch Birkhoff-Kellogg Theorem) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Nichtlinearen Funktionalanalysis, der auf eine im Jahre 1922 von den beiden Mathematikern George David Birkhoff und Oliver Dimon Kellogg vorgelegte wissenschaftliche Arbeit zurückgeht. Er behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen für gewisse Operatoren auf unendlich-dimensionalen Banachräumen das Eigenwertproblem lösbar ist. Der Satz erweist sich dabei als Analogon des klassischen Satzes von Poincaré-Brouwer in der Topologie.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:

Gegeben seien ein unendlich-dimensionaler Banachraum $X$ und darin eine beschränkte offene Teilmenge $G\subset X$, welche den Nullpunkt $0\in X$ enthalte.

Auf der abgeschlossenen Hülle ${\overline {G}}$ von $G$ sei ein kompakter (linearer oder nichtlinearer) Operator $\mathrm {K} \colon {\overline {G}}\to X$ gegeben, der die Bedingung

$\inf _{x\in \partial {G}}{\|\mathrm {K} (x)\|}>0$.

erfülle.

Dann gilt:

Das Eigenwertproblem ist für $\mathrm {K}$ lösbar. Dabei gibt es einen Randpunkt $x_{0}\in \partial {G}$ und dazu eine reelle Zahl $\lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}$, welche die Gleichung $\mathrm {K} (x_{0})=\lambda x_{0}$ erfüllen.

Hintergrund

Der Beweis des Birkhoff-Kellogg’schen Satzes beruht wesentlich auf einem allgemeinen Eigenwertprinzip, zu dessen Herleitung der Leray-Schauder’sche Abbildungsgrad genutzt wird, sowie dem folgenden Approximationssatz für kompakte Operatoren (englisch Approximation Theorem for Compact Operators):

Gegeben seien zwei Banachräume $X,Y$ (über $\mathbb {K}$ mit $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$) sowie eine beschränkte nichtleere Teilmenge $M\subset X$ und hierauf ein beliebiger Operator $\Psi \colon M\to Y$.

Dann gilt:

$\Psi$ ist ein kompakter Operator genau dann, wenn es eine Folge ${\Psi }_{n}\colon M\to Y\,(n=1,2,3,\ldots )$ von Operatoren gibt derart, dass für $n=1,2,3,\ldots$ stets folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

(i) ${\Psi }_{n}$ ist kompakt.

(ii) $\sup _{x\in M}{\|\Psi (x)-{\Psi }_{n}(x)\|_{Y}}\leq {\frac {1}{n}}$.

(iii) Der von der Bildmenge ${\Psi }_{n}(M)$ (über $\mathbb {K}$) aufgespannte lineare Unterraum $\operatorname {span} \left({\Psi }_{n}(M)\right)$ hat endliche Dimension.

Literatur

• G. D. Birkhoff, O. D. Kellogg: Invariant points in function space. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 23, 1922, S. 96–115 (MR1501192). 
• Eberhard Zeidler: Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I: Fixpunktsätze. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1976 (MR0473927). 
• Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems. Translated by Peter R. Wadsack. Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1986, ISBN 0-387-90914-1 (MR0816732).