Satz von Birkhoff-Kellogg

Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Nichtlinearen Funktionalanalysis

Der Satz von Birkhoff-Kellogg (englisch Birkhoff-Kellogg Theorem) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Nichtlinearen Funktionalanalysis, der auf eine im Jahre 1922 von den beiden Mathematikern George David Birkhoff und Oliver Dimon Kellogg vorgelegte wissenschaftliche Arbeit zurückgeht. Er behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen für gewisse Operatoren auf unendlich-dimensionalen Banachräumen das Eigenwertproblem lösbar ist. Der Satz erweist sich dabei als Analogon des klassischen Satzes von Poincaré-Brouwer in der Topologie.[1][2]

Formulierung des Satzes

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Der Satz lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:[3][4]

Gegeben seien ein unendlich-dimensionaler Banachraum   und darin eine beschränkte offene Teilmenge  , welche den Nullpunkt   enthalte.
Auf der abgeschlossenen Hülle   von   sei ein kompakter (linearer oder nichtlinearer) Operator   gegeben, der die Bedingung
 .[5]
erfülle.
Dann gilt:
Das Eigenwertproblem ist für   lösbar. Dabei gibt es einen Randpunkt   und dazu eine reelle Zahl  , welche die Gleichung   erfüllen.

Hintergrund

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Der Beweis des Birkhoff-Kellogg’schen Satzes beruht wesentlich auf einem allgemeinen Eigenwertprinzip, zu dessen Herleitung der Leray-Schauder’sche Abbildungsgrad genutzt wird, sowie dem folgenden Approximationssatz für kompakte Operatoren (englisch Approximation Theorem for Compact Operators):[6][7]

Gegeben seien zwei Banachräume   (über   mit  ) sowie eine beschränkte nichtleere Teilmenge   und hierauf ein beliebiger Operator  .
Dann gilt:
  ist ein kompakter Operator genau dann, wenn es eine Folge   von Operatoren gibt derart, dass für   stets folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
(i)   ist kompakt.
(ii)  .
(iii) Der von der Bildmenge   (über  ) aufgespannte lineare Unterraum   hat endliche Dimension.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Eberhard Zeidler: Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I 1976, S. 12, S. 152–153
  2. Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I 1986, S. 557 ff
  3. Zeidler (1976), S. 153
  4. Zeidler (1986), S. 559
  5.   ist die Menge der Randpunkte von  .
  6. Zeidler (1976), S. 25, S. 152–153
  7. Zeidler (1986), S. 55, S. 558–559