Approximationssatz von Lück

Der Approximationssatz von Lück ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie. Er setzt die L²-Betti-Zahlen $b_{k}^{(2)}(X)$ eines Raumes $X$ in Beziehung zu den üblichen Betti-Zahlen $b_{k}(X_{i})$ seiner endlichen Überlagerungen $X_{i}$.

Aussage des Satzes

Sei $X$ ein endlicher CW-Komplex mit residuell endlicher Fundamentalgruppe $\Gamma$. Wegen der residuellen Endlichkeit gibt es eine absteigende Kette von Normalteilern mit $\left[\Gamma \colon \Gamma _{i}\right]<\infty$ und $\bigcap _{i}\Gamma _{i}=0$. Sei $X_{i}$ die Überlagerung von $X$ mit Deckgruppe $\Gamma _{i}$. Dann ist

$b_{k}^{(2)}(X)=\lim _{i\to \infty }{\frac {b_{k}(X_{i})}{\left[\Gamma \colon \Gamma _{i}\right]}}.$

Sei insbesondere $\Gamma$ eine endlich präsentierte, residuell endliche Gruppe und $\Gamma =\Gamma _{0}\supset \Gamma _{1}\supset \Gamma _{2}\supset \ldots$ eine absteigende Kette von Normalteilern mit $\left[\Gamma \colon \Gamma _{i}\right]<\infty$ und $\bigcap _{i}\Gamma _{i}=0$, dann ist

$b_{k}^{(2)}(\Gamma )=\lim _{i\to \infty }{\frac {b_{k}(\Gamma _{i})}{\left[\Gamma \colon \Gamma _{i}\right]}}.$

Der Approximationssatz gilt auch für Homologie mit Koeffizienten in einem beliebigen Körper der Charakteristik Null.

Verallgemeinerung für Gitter in symmetrischen Räumen

Sei $X$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ und $\Gamma _{n}$ eine gleichmäßig diskrete Folge von kokompakten Gittern in $X$, für die $\Gamma _{n}\backslash X$ gegen $X$ Benjamini-Schramm-konvergiert. Dann ist

$\lim _{i\to \infty }{\frac {b_{k}(\Gamma _{i})}{\operatorname {vol} (\Gamma _{i}\backslash X)}}=\beta _{k}^{(2)}(X)$

mit

$\beta _{k}^{(2)}(X)=0$ für $k\not ={\frac {1}{2}}\dim(X)$

und

$\beta _{{\frac {1}{2}}\dim(X)}^{(2)}(X)={\frac {\chi (X^{d})}{\operatorname {vol} (X^{d})}}$

für den zu $X$ dualen kompakten symmetrischen Raum.

Literatur

• Wolfgang Lück: Approximating L2-invariants by their finite-dimensional analogues. GAFA 4 (1994), S. 458–490.
• Pierre Pansu: Introduction to L2 -Betti numbers.
• Michail Gromov: Asymptotic Invariants of Infinite Groups. (Chapter 8)
• Wolfgang Lück: L2-Invariants: Theory and Applications to Geometry and K-Theory.